陕西省宝鸡市金台区2025届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份陕西省宝鸡市金台区2025届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2025届·陕西宝鸡·二模],则( )
A.B.C.D.2
1．答案：C
解析：由,
得,
故选：C.
2．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知向量,的夹角为,且,,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
2．答案：B
解析：因为,所以,即,
所以,解得,
从而,在上的投影向量为.
故选：B.
3．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知命题,,命题,,则下列命题中为真命题的是( )
A.且qB.p且qC.p且D.且
3．答案：A
解析：对于命题,,当时,
,所以p为假命题.
对于命题,,
画出与的图象如下图所示,由图可知,
两个函数图象有1个公共点,所以q为真命题.
所以且q为真命题,
p且q、p且、且为假命题.
故选：A.
4．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知动点满足等式,则点A的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
4．答案：D
解析：因为动点满足等式,
所以表示点A到点,的距离之和为8,且,
所以点A的轨迹是以,为焦点的椭圆,
其中：,,,
所以椭圆的方程是,
故选：D.
5．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知正数x,y满足,则的最小值是( )
A.B.6C.D.
5．答案：D
解析：由可得,因,,则,
于是,
因,当且仅当时等号成立,
即,时,的最小值为.
故选：D.
6．[2025届·陕西宝鸡·二模]将函数图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的纵坐标变为原来的后,得到函数的图象.则( )
A.B.C.D.1
6．答案：C
解析：将函数图象上所有的点向左平移个单位长度,
可得函数的图象,
将函数图象上所有点的纵坐标变为原来的,横坐标不变,可得函数的图象,
所以,故.
故选：C.
7．[2025届·陕西宝鸡·二模]如图,在四棱台中,底面为平行四边形,侧棱平面,,,若四棱台的体积为.则直线与平面所成角的正切值是( )
A.B.C.D.
7．答案：A
解析：如图所示：
过点,作,连接,
因为平面,平面,
所以平面平面,
所以平面,连接,
则为与平面的夹角,
在平面中,,,,则,
,,
所以四棱台的体积为：,
所以,,
E为的中点, ,
.
故选：A.
8．[2025届·陕西宝鸡·二模]“求方程的解”有如下解题思路：设,则在R上单调递减,且,所以原方程有唯一解.类比上述解题思路,不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
8．答案：D
解析：原式化简为：,
即
令,则,则在R上单调递增,
则不等式转化为,所以方程解集为.
故选：D.
二、多项选择题
9．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知a,,有一组样本数据为,3,,,8,10,,12,13,若在这组数据中再插入一个数8,则( )
A.平均数不变B.中位数不变C.方差不变D.极差不变
9．答案：AD
解析：对于A选项,原数据的平均数为8,插入一个数8,平均数不变,正确;
对于B选项,取,,原数据的中位数为9,新数据的中位数为8.5,错误;
对于C选项,新数据的方差为,错误;
对于D选项,因为,所以8不是最值,故新数据的极差不变,正确.
故选：AD.
10．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知函数,则( )
A.在单调递增B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称D.函数有两个零点
10．答案：ACD
解析：函数定义域为,又,
令,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又为单调递增函数,
所以在上单调递增,在上单调递减,故选项A正确;
因为函数的对称轴为,则函数关于直线对称,故选项B错误,选项C正确;
因为,所以函数,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又函数在R上为增函数,
则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
故函数与函数在区间上有两个交点,即函数有两个零点,故D正确.
故选：ACD.
11．[2025届·陕西宝鸡·二模]设曲线C的方程为,则( )
A.曲线C既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.曲线C围成图形的面积为
C.曲线C的周长为
D.曲线上任意两点间距离的最大值为4
11．答案：ABD
解析：当,时方程为,
当,时方程为,
当,时方程为,
当,时方程为,
如图所示,
,
对于A：易知曲线关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点中心对称,A正确;
对于B：因为曲线关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点中心对称,
所以只需要计算第一象限内图像的面积即可,
因为,且圆的半径,所以弦心距,
所以所对的圆心角为,
所以该图形为圆心角为的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形,
所以,所以总面积为,B正确;
对于C：第一象限内的图形是圆心角为的扇形的弧长,所以,
所以曲线C的周长为,C错误;
对于D：曲线上任意两点间距离的最大值为,D正确,
故选：ABD.
三、填空题
12．[2025届·陕西宝鸡·二模]从2024年伊始,各地旅游业爆火,兵马俑是陕西省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学A,B,C,D,E,F慕名而来,游览结束后,在门前站一排合影留念,要求A,B相邻,C在D的左边,则不同的站法共有____________;（用数字做答）
12．答案：120
解析：先将A,B “捆绑”看成一个元素,与另外四人在五个位置上进行全排,
再考虑C在D的左边,最后“解绑”,故有种方法.
故答案为：120.
13．[2025届·陕西宝鸡·二模]设等比数列满足,,则的最大值为_____________.
13．答案：64
解析：设等比数列的公比为q,由得,,
解得.所以,
于是当或4时,取得最大值.
14．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知,,则________________.
14．答案：
解析：因为,,
所以,
所以,
即,
即,
因为,
则.
故答案为：.
四、解答题
15．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若,D为边边上一点,为的平分线,且,求的面积.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,即,
因为,所以,
所以,得.
(2)由为的平分线,得,
因为,
所以,
即,①
由余弦定理得,
即,②
由①②,得,
所以.
16．[2025届·陕西宝鸡·二模]某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动,在活动中设置①、②、③三道谜语题,猜谜者按照一定的顺序猜谜,只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语,并且获得本谜语的奖金.每次猜谜的结果相互独立.猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表：
(1)若,按“①、②、③”的顺序猜谜,求所获奖金至少为30元的概率;
(2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜.若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据,按哪种顺序猜谜所获奖金更多？
16．答案：(1)0.4
(2)答案见解析
解析：(1)设“猜谜者①猜对”为事件A;“猜谜者②猜对”为事件B;“猜谜者③猜对”为事件C.
记“所获得奖金至少为30元”为事件D,则包括获得奖金30元或60元.
奖金30元指①、②猜对,③猜错,即事件发生;
奖金60元指①、②猜对,③猜对,即事件发生.
因事件与事件互斥,且A,B,C相互独立,
则
.
即所获得奖金至少为30元的概率为0.4;
(2)若猜谜者按“①、②、③”的顺序猜谜语.
则他所获奖金X的所有可能取值为0,10,30,60（元）,
,
,
,
,
列出X的分布列为：
故;
若猜谜者按“③、②、①”顺序猜谜语.
则他所获奖金Y的所有可能取值为0,30,50,60（元）,
,
,
,
,
列出Y的分布列为：
故.
由,
当,即时,应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多;
当,即时,按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多;
当,即时,应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多.
17．[2025届·陕西宝鸡·二模]如图,在四棱锥中,底面为菱形,,底面,,E是上任一点,.
(1)求证：平面平面.
(2)四棱锥的体积为,三棱锥的体积为,若,求直线与平面所成角的正弦值.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在四棱锥中,底面为菱形,所以,
又因为底面ABCD,底面,所以,
,,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)四棱锥的体积为,三棱锥的体积为,,
设E到平面的距离为h,
则,
所以,所以E是PC的中点,
取的中点F,连接,因为底面为菱形且,
所以为等边三角形,所以,所以,
如图以A为坐标原点,以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
令,则,,,
,,所以,,,
设平面的法向量为,所以,
即,令,则,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知a,b为实数,函数（其中是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意的,恒成立,求的最小值.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)易知,因为,所以,
当时,恒成立,此时在R上单调递增,
当时,由,得到,
当时,,当时,,即在区间上单调递减,在区间上单调递增,
综上,时,在R上单调递增,
时,的减区间为,增区间为.
(2)因为当时,时,,
由(1)知,要使对任意的,恒成立,则,且恒成立,
即恒成立,得到,
所以,
令,则,由,得到,
当时,,时,,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,故的最小值为.
19．[2025届·陕西宝鸡·二模]已知曲线,对坐标平面上任意一点,定义.若两点P,Q,满足,称点P,Q在曲线同侧;若,称点P,Q在曲线两侧.
(1)直线l过原点,线段上所有点都在直线l同侧,其中、,求直线l的斜率的取值范围;
(2)已知曲线,O为坐标原点,求点集的面积;
(3)记到点与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,曲线,若曲线C上总存在两点M,N在曲线两侧,求曲线C的方程与实数a的取值范围.
19．答案：(1)
(2)
(3)和,
解析：(1)由题意知：直线l斜率存在,可设其方程为,即,
,解得：,
直线l斜率的取值范围为.
(2),,
,即,
点集S表示圆在直线下方的部分（不含边界）,如下图阴影部分所示,
设直线与圆交于A,B两点,
则圆心到直线的距离为,,
,,
阴影部分面积,
即点集的面积为.
(3)设曲线C上的动点为,则,
化简得曲线C的方程为：和,其轨迹为两段抛物线弧;
由得：;
设曲线C上的点,点P到点的距离为d,
则;
当时,;
当时,;
则曲线C上的点到的距离的范围是,
曲线C上总存在两点M,N在曲线两侧,
,解得：,即实数a的取值范围为.
谜语
①
②
③
猜对的概率
0.8
0.5
获得的奖金（元）
10
20
30
X
0
10
30
60
P
0.2
Y
0
30
50
60
P
0.5