天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷(含答案)

这是一份天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知x,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A.B.C.D.
4．树人中学举行主题为“弘扬传统文化,传承中华美德”的演讲比赛,现随机抽选10名参赛选手,获得他们出场顺序的数据,将这组数据从小到大排序为3,5,6,8,m,14,15,16,17,18,若该组数据的中位数是极差的,则该组数据的第40百分位数是( )
A.9B.10C.11D.12
5．设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．设l是直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
7．已知函数的最小正周期为,把函数图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,若是偶函数,则的最小值是( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左支相交于P,Q两点,若,且,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
9．如图,一个圆柱形容器中装有某种液体,固定容器在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是10和22,则容器内液体的体积是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．i是虚数单位,复数的虚部为________.
11．在的展开式中,x的系数是________.
12．已知圆,直线l是抛物线的准线,则圆C关于直线l对称的圆的标准方程为________.
13．已知且,设函数在R上是单调函数,若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围是________.
三、双空题
14．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球,则恰有一个白球的概率是________;若每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回,记“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到红球”为事件B,则________.
15．如图,在中,,,P为上一点,且满足,则实数m的值为________;若的面积为,则的最小值为________.
四、解答题
16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,.
（1）求角B的大小;
（2）求的值;
（3）求的值.
17．如图,在三棱锥中,平面,,,,点D在棱上,且,M为棱的中点.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值;
（3）在线段上是否存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
18．已知椭圆的右焦点为,离心率为,O为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设直线l与椭圆相交于P,Q两点,的面积为,求直线,的斜率之积的值.
19．已知为等差数列,为公比大于0的等比数列,,,,.
（1）求和的通项公式;
（2）设数列满足,,对任意的,将数列中落入区间内的项的个数记为.
（i）求的通项公式及和的值;
（ii）记数列的前m项和为,请问是否存在,使得,若存在,求出所有m的值,若不存在,请说明理由.
20．已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）求证:有唯一极值点;
（3）若有唯一零点,求证:.
参考答案
1．答案：A
解析：,则,
故选:A
2．答案：D
解析：,而
同样,而,所以充分性、必要性都不成立.
故选:D
3．答案：C
解析：对于A,由幂函数的性质知在区间上单调递增,故在区间上单调递减,故A错误;
对于B,由幂函数性质知在上单调递减,故B错误;
对于C,令,则,又,所以函数为奇函数,
由指数函数的单调性知,在R上单调递增,在R上单调递增,
所以在R上单调递增,符合题意,故C正确;
对于D,由正弦函数性质可知为奇函数,但在区间上不单调,故D错误.
故选:C
4．答案：A
解析：由题可得极差是,该组数据的中位数是极差的,
列出等式,解得,
因为,
故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值,即,
所以该组数据的第40百分位数是9.
故选:A.
5．答案：B
解析：由指数函数的性质,可得,
根据对数函数的性质,可得,
所以.
故选:B.
6．答案：B
解析：设l是直线,,是两个不同的平面,
对于A,若,,则与相交或平行,故A错误;
对于B,若,则内存在直线,因为,
所以,由面面垂直的判定定理得,故B正确;
对于C,若,,则l与平行或,故C错误;
对于D,若,,则l与相交、平行或,故D错误.
故选：B.
7．答案：B
解析：由题意可知,
又因为最小正周期为,所以,即,
将的图象上所有点向右平移个单位长度,
可得,由于是偶函数,其图象关于y轴对称,
因此,,解得,
由于,则的最小值是.
故选:B.
8．答案：A
解析：因为,设,,
又,所以,
由双曲线的定义得,,
所以,从而,
再由得,即,所以离心率为,
故选:A.
9．答案：C
解析：如图为圆柱的截面图,过M作容器壁的垂线,垂足为F,
因为平行于地面,故,
椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是10和22,
故,
在中,,即圆柱的底面半径为,
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为,高为的圆柱体积的一半,
即为.
故选:C
10．答案：/0.2
解析：因为,
所以复数的虚部为.
故答案为:.
11．答案：
解析：在二项展开式的通项公式:,
.令,,所以x的系数为.
故答案为:.
12．答案：
解析：由题设圆,即,
故圆心坐标为,半径为,因为抛物线,所以准线方程l为:,
设圆心关于直线l对称点为,则,解得,
所以圆C关于直线对称的圆的标准方程为:.
故答案为:
13．答案：
解析：,
,的图象如下图:
设函数在R上是单调函数,故只能是减函数,且,即,所以,
又时,,结合,解得,
函数恰有两个零点,
即函数的图象与直线恰有两个交点,作出函数的图象及直线,如下图,
可得,解得,
综上有,
故答案为:.
14．答案：/;/
解析：根据题意从3个红球和2个白球任取3个球,由种取法,
其中恰有一个白球的取法有种,其中恰有一个白球的概率是;
由题可知,“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到红球”为事件B,
则,,所以.
故答案为:;.
15．答案：;/
解析：由得,
则,
而C,P,D三点共线,得,,
则,因为,
所以
而,得,
由基本不等式得,当且仅当时等号成立,
故,即的最小值为,
故答案为:;
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为,由余弦定理得,
在中,,
所以;
（2）由（1）可知,且,由正弦定理,
得;
（3）由,可得,故有,所以A为锐角,
因为,所以,
所以,
,
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在,.
解析：（1）以A为原点,以,,所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
方法一:,,,,
,.
,.
,,平面
平面.
方法二:设是平面的一个法向量
取,得.
,即,
平面.
（2）设为平面的一个法向量,,
,,令,则,
.
由（1）可知是平面的一个法向量.（用均可）
设平面与平面的夹角为
平面与平面夹角的余弦值为.
（3）假设存在点H满足题意,设,,
设直线与平面所成角为a,则
解得,.
又,得,所以的值为.
所以存在点H满足题意且.
18．答案：（1）
（2）.
解析：（1）由题意可得,解得
椭圆的标准方程为.
（2）设,
①当直线l的斜率不存在时,根据陏圆的对称性不妨设点P在第一象限,则
因为,所以
又因为,解得,,
所以
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
由联立,得
得,,
点O到直线l的距离为,
则
解得
综上所得,求直线,的斜率之积的值.
19．答案：（1）.
（2）（i）,,;（ii）存在
解析：（1）为等差数列,设公差为d,为公比大于0的等比数列,
设为公比为q,且,因为,,所以,
又因为,得,
所以
因为,所以,,
所以,
故和的通项公式分别为.
（2）由题意,,得,
因为当时,
,
当时,也满足上式,
所以的通项公式为.
①因为,,所以,
当时,,此时,
令,则,,
当时,,
此时,,
②
令从第2项到第m项的和为,
则,
,
,
,
当时,;
当时,,
当时也满足上式,
所以,
由,得,
即,
当时,左边,舍去,
当时,经检验符合;
当时,先证,即证,
令,则,,
所以单调递减,有,
又,
所以
即当时,方程无解,
综上所得,存在使得.
20．答案：（1）.
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为,
因为,所以,
则,
所以斜率,又,
所以切线方程为,即.
（2）因为,,
所以,,
令,,
则,因为,所以恒成立,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
构造函数,则,
当时,,所以在上单调递增,
当时,,所以在上单调递减,
所以,所以,即,
所以,
又,所以存在唯一的,使得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以函数有唯一极值点.
（3）由（2）得,
因为函数有唯一零点,所以,所以,
即,所以,
设,所以,
所以在单调递减,
因为,,所以.