四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．在平面直角坐标系中,若角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则终边与角相同的角的集合为( )
A.或B.
C.D.
3．下列函数中,既是偶函数,又在区间上单调递减的函数是( )
A.B.C.D.
4．已知函数,若,则( )
A.9B.6C.4D.2
5．若实数a,b满足,则下列不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
6．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元,每次制作x个,每天每个面包的存留成本为1元,若每个面包的平均存留时间为天,为了使每个面包的总成本最小,则每天应制作( )
A.20个B.30个C.40个D.50个
7．若正实数a,b满足,则函数与函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
8．若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知全集,集合,集合,则( )
A.B.的子集个数为8
C.D.
10．已知函数,则关于函数的说法正确的是( )
A.定义域为且B.关于点对称
C.在区间上为增函数D.值域为
11．已知函数,若,,使成立,则实数a的值可以是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．函数的定义域为______________.
13．若第二象限角的终边与单位圆交点的横坐标为,则____________.
14．已知函数,对任意的,,若,恒有,则实数a的取值范围为_____________.
四、解答题
15．已知函数,
(1)在下图平面直角坐标系中画出函数的图象;
(2)解关于x的方程.
16．(1)若角满足,且,求,的值;
(2)若集合,,且,求实数a的取值范围.
17．17世纪,牛顿发现物体表面的热流密度与物体表面温度和周围环境温度之差成正比,其原理是当一个物体表面的温度高于周围环境的温度时,物体将会通过热传导、对流和辐射等方式向周围环境释放热量.如：一杯热茶水会在常温下逐渐冷却,设茶水的冷却时间为x（单位：）,茶水冷却后水温为y（单位：）,根据该机理,我们得到函数模型：,其中为茶水的初始温度,为室温,k为冷却系数.李大爷在室温的条件下泡了一杯的茶水,后,测得水温为.
(1)求冷却系数k;
(2)经研究表明,饮水温度不宜高于,以保证口腔与食管不受到损害,根据该模型判断后该杯茶水是否宜于饮用,并说明理由.
18．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明;
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法证明;
(3)若都有成立,求正实数k的取值范围.
19．已知,设是A到的一个函数,对任意的,若,,,全不相等,则称为函数.
(1)试判断与是否为函数（不必写出理由）;
(2)已知为函数,记的元素个数为.
（ⅰ）若,求的最小值;
（ⅱ）若,,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由,则必有,但反之不一定成立,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．答案：B
解析：由题设且,故终边与角相同的角的集合为.
故选：B.
3．答案：A
解析：由幂函数性质知：、为偶函数,为奇函数,为非奇非偶函数,
在上递减,递增,
综上,是偶函数,在区间上单调递减.
故选：A.
4．答案：D
解析：由题设,则.
故选：D.
5．答案：D
解析：由指数函数性质知,A错;
由,而不一定成立,则不一定成立,B错
当,时,,C错;
由,则,D对.
故选：D.
6．答案：C
解析：由题设,总成本为,则每个面包的总成本,
当且仅当时取等号,故每个面包的总成本最小,每天应制作40个.
故选：C.
7．答案：A
解析：令,可得或,
对于,若,则的零点,A满足,B不满足;
对于,若,则的零点,C、D不满足.
故选：A.
8．答案：C
解析：令,得,令,得或,函数草图如下,
根据解析式及函数恰有两个零点,结合图象,易知或.
故选：C.
9．答案：BC
解析：由题设且子集有个,B对,
又,则,A、D错;
由,则,C对;
故选：BC.
10．答案：AD
解析：由解析式知,即,故定义域为且,A对;
由,则函数关于y轴对称,不关于原点对称,B错;
当时,,易知函数在上为减函数,C错;
由上,,则,根据对称性知上值域也是,
若,则,故,根据对称性知上值域是,
所以值域为,D对.
故选：AD.
11．答案：ABC
解析：由题意,在上,
当,则在上单调递减,故,
所以,可得,故;
当,则在上单调递增,故,
所以,可得,故;
综上,或.
故选：ABC.
12．答案：
解析：由题意可得,解得且,
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意,终边与单位圆交点坐标为,则.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意,在上是单调函数,而,
令,则在上单调,
由在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以只需,即.
故答案为：.
15．答案：(1)作图见解析;
(2).
解析：(1)由指对数函数性质及分段函数解析式,可得函数图象如下,
(2)由题设,令,则或,
所以或,均满足;
令,则,满足;
综上,方程的解集为.
16．答案：(1),;
(2).
解析：(1)由,可得,
又,则,可得,
所以.
(2)由题设,,又,
当,则,可得,满足;
当,则,可得;
综上,.
17．答案：(1);
(2)不适宜饮用,理由见解析.
解析：(1)由题,,,,
故冷却系数.
(2)由(1)知,,,,
当时,
,
所以后该杯茶水不适宜饮用.
18．答案：(1)偶函数,证明见解析
(2)单调递减,证明见解析
(3)
解析：(1)函数为偶函数,证明如下：
要使函数有意义,则解得,
故函数的定义域为,关于原点对称.
对任意,则,
所以,
所以函数为偶函数.
(2)函数在区间上单调递减,证明如下：
设,设,
,
根据复合函数单调性可知,,
故在区间单调递减.
(3)若都有成立,
即对于恒成立,即,解得①,
又,则对于恒成立,
即,也就是对于恒成立,
设,开口向上,且,
则,解得②,
由①和②得.
19．答案：(1)不是函数,是函数;
(2)（ⅰ）3;（ⅱ）.
解析：(1)由且,
所以,故不是函数;
由且,
所以,故是函数;
(2)（ⅰ）由题设,即共有6个不同值,
当,显然不符,排除;
当,必存在相等情况,排除;
当,如,显然有,满足;
综上,的最小值为3;
（ⅱ）由,共有21个不同值,
集合B中有5个不同元素,任选2个元素作商,商都不相同,即保证20种不同值,
注意：还有一个值是B中的一个元素对应中两个自变量,即存在一个值为1,
只有上述情况满足、时,有21个不同值,
取,其中,不符,排除;
取,其中,不符,排除;
取,任选2个元素作商,满足20种不同值,
此时,,,取值依次为1,1,2,3,5,7,5,3,2,1,3,7,3,1,5,2,5,1,7,2,7,1,
所以最小值为.