2025高考数学考点剖析精创专题卷八-平面解析几何【含答案】

这是一份2025高考数学考点剖析精创专题卷八-平面解析几何【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
2．若直线是与的公切线，则实数r的值为( )
A.B.C.D.
3．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，若P为线段MN的中点，则弦长等于( )
A.B.C.D.
4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆C的两个焦点分别为，，则的值不可能为( )
A.4B.7C.10D.14
5．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在C上，且，的面积为（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若，则( )
A.4B.C.2D.
7．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足，则钝角( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，M是C在第一象限上的一点，直线与C的另一个交点为N.若，则直线MN的斜率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若圆与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率
B.若双曲线C上一点P满足轴，则
C.若双曲线C上一点P满足，则的周长为
D.双曲线C上存在一点P，使得点P到C的两条渐近线的距离之积为
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.与之间的距离为4
11．已知椭圆过点，直线与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为P，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆C的方程为
C.若，则
D.若，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
三、填空题
12．已知椭圆和双曲线（，）的焦点相同，，分别为左、右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为___________.
13．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.
14．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是__________.
四、解答题
15．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
16．已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为B，其长轴长是短轴长的2倍，P是C上任意一点，的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过作一直线与C交于M，N两点，直线BM，BN与x轴分别交于点R，S，求证：RS的中点是定点.
17．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在坐标轴上，且过，两点.
（1）求C的方程；
（2）设过点F的直线l与C交于M，N两点，P，Q两点分别是直线AM，BN与x轴的交点，证明：为定值.
18．已知椭圆的左顶点为，焦距为.动圆D的圆心坐标是，过点A作圆D的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为，.
（1）求证：.
（2）若O为坐标原点，作，垂足为P.问：是否存在定点Q，使得为定值？
19．已知抛物线，C的焦点是F.
（1）若过原点O作两条直线交曲线C于A，B两点，且，求证：直线AB过定点；
（2）若过曲线C上一点作两条直线交曲线C于A，B两点，且，求的面积的取值范围.
参考答案与详细解析
一、选择题
1．答案：C
解析：由题意知直线l过定点，
易求直线PA的斜率，直线PB的斜率，直线l的斜率，作出线段AB及直线PA，PB，如图，由图知，或，即或，故选C.
2．答案：A
解析：已知的圆心，半径是r；的圆心是，半径是2.由题知直线是和的公切线，当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以，由，解得，
则有.故选A.
3．答案：D
解析：由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN的方程为，联立直线与双曲线的方程并化简得，设，，，则，所以，解得，则，.
弦长.故选D.
4．答案：D
解析：因为椭圆C的面积为，所以，即.①
设，则，则，
所以点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为.②联立①②可得，，则，故，故选D.
5．答案：A
解析：不妨设点M在双曲线的右支上，如图所示.设，，则
由①得.将②③代入即可得，故，所以，
所以离心率.故选A.
6．答案：D
解析：依题意得，，准线l的方程为.
因为点P是l上一点，所以设点，，则，，
因为，所以，解得.
又Q是直线PF与C的交点，所以由抛物线的定义可得.故选D.
7．答案：D
解析：由题知，抛物线的焦点为，准线方程为.因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为.
因为为钝角，则点B在x轴下方，
所以，解得，即点B的坐标为（舍去）或.
因为直线BF的斜率，所以直线BF的倾斜角为，故钝角.故选D.
8．答案：A
解析：因为椭圆C的离心率为，故可设，，故，因此椭圆C的方程为，
而，，故，因为，所以.因为直线MN与x轴不垂直也不重合，故可设，，，则，
由可得，
因为在椭圆C的内部，所以恒成立，且
故，因为，所以，
此时，
故M在第一象限，符合条件，因此直线MN的斜率为.故选A.
二、多项选择题
9．答案：BC
解析：对于A项，由，可得双曲线的渐近线方程为.
圆的圆心为，半径.
因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以双曲线的方程为，，，，
所以离心率，故A项错误.
对于B项，由A知，，所以直线的方程为.
代入双曲线方程可得，则，所以，故B项正确.
对于C项，由已知，
根据双曲线的定义可知，，所以.
又，所以的周长为，故C项正确.
对于D项，设，双曲线的渐近线方程为，
则点到直线的距离，到直线的距离，所以.又点在双曲线上，所以，所以，故D项错误.故选BC.
10．答案：BC
解析：由抛物线的光学性质可知，直线PQ过焦点，设直线，
代入中得，则，所以，所以，故B正确；
点P与M均在直线上，则点P的坐标为，由得，则点Q的坐标为，则，故A错误；
由抛物线的定义可知，，故C正确；
因为与平行，所以与之间的距离，故D错误.
故选BC.
11．答案：AC
解析：设，，则，即
因为点M，N在椭圆C上，所以两式相减，
得，即，
由题得，所以，即，又，
所以，则离心率，故A正确.
因为椭圆C过点，所以，又由A选项知，，联立解得，，所以椭圆C的标准方程为，故B错误.
若，则直线l的方程为，由得，所以，，则，故C正确.
若，则直线l的方程为.假设椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，则设，，线段EF的中点为，则，.因为E，F关于直线l对称，所以，且点Q在直线l上，即.又E，F两点在椭圆C上，所以两式相减，得，即，所以，即.联立解得即.因为，所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦EF的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，故D错误.
故选AC.
三、填空题
12．答案：1
解析：设，由题可知，.因为轴，所以，
所以椭圆和双曲线的离心率之积为
.
13．答案：
解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设，，.
由，得.又，且，，则，所以.
又点A在双曲线C上，则，整理得，
将，代入，得，即，解得或（舍去），故.
法二：由得，设，则，.
由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得.
设，则，所以，解得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，可得.
14．答案：12
解析：由题意可知，设直线AB的方程为，点，，直线AB与x轴的交点为，联立方程消去x得，则，.
因为，所以，解得或，由点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，可知，所以，故，此时，即.
不妨设点A在x轴上方，则，，且，，则，当且仅当，即时，等号成立.所以与面积之和的最小值是12.
四、解答题
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线C的左焦点为，所以.
由离心率，得，所以，
所以C的方程为.
（2）证明：设（，），，显然直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为.
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立消去y得.
联立消去x整理得，
则，，则，，
所以，
所以，
所以，解得，
所以点P在定直线上.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知，的最大值为，
而，
则，即，，则椭圆C的方程为.
（2）证明：根据（1）知，，设，，
由题意知直线EM斜率存在，且不为0，设直线EM的方程为.
则由得.
则有，.
直线BM的方程为，则；
直线BN的方程为，则.
取RS的中点为，则有
.
即RS的中点是定点.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知抛物线C过第一、四象限，
故可设抛物线C的方程为，代入得，则，
故抛物线C的方程为.
（2）证明：由（1）可得，易得直线l的斜率不为0，
则可设直线，，.
联立方程得消去x得，
则，，.
当直线AM的斜率不存在时，，此时直线，
则，，，则；
当直线AM的斜率存在时，，
则直线AM的方程为，令，则，
解得，，
同理可得，故（定值）.
综上，为定值1.
18．答案：（1）证明见解析
（2）存在点，使得为定值
解析：（1）证明：由题意知，椭圆C的左顶点为，焦距为，
可得解得
所以椭圆C的方程为.
若过点A作圆D的一条切线的斜率不存在，则其方程为，其与椭圆只有点A一个交点，此时圆D半径为2，与题干矛盾，
所以设过点A且与圆D相切的直线方程为，动圆D的半径为，则，
化简得，，即，
所以和是方程的两个实数根，
由一元二次方程根与系数的关系知，.
（2）存在点，使得为定值，理由如下：
设点，，
联立方程得整理得，，
则，得，，所以.
因为，所以将k换成，可得.
易知直线MN的斜率存在，则直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为.
直线MN的方程可化为，
即，
即，
所以直线MN过定点.
因为，所以点P的轨迹是以OE为直径的圆上的一段弧，
故存在点，使得为定值.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为A，B是两直线与抛物线C的交点，
所以OA，OB的斜率均存在，且不为零，
故可设直线，则直线.
由，，所以.
同理得.
则，
则直线AB的方程为，
所以直线AB过定点.
（2）因为点在曲线C上，所以将点P的坐标代入曲线C的方程可得，即，则.
设，，由题意可知直线AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为.
则由得，则，，.
所以，
，
得或，满足.
而点F到AB的距离，
，
则.
所以.
所以的面积的取值范围为