复习巩固02 万有引力与航天-2025年寒假提升高考物理专题

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掌握开普勒三大定律，学会开普勒第三定律在椭圆和圆轨道的分析和计算；
掌握万有引力定律，掌握计算天体质量和密度的方法；
掌握三种卫星，重点掌握同步卫星的特点，能够分析卫星变轨各个物理量之间的关系；
掌握三个宇宙速度以及各自的涵义；
了解多星模型，学会双星模型的分析方法。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16609" 核心考点01 开普勒三大定律
\l "_Tc22755" 一、开普勒第一定律3
\l "_Tc26894" 二、开普勒第二定律3
\l "_Tc32042" 三、开普勒第三定律3
\l "_Tc13921" 核心考点02 万有引力定律5
\l "_Tc15793" 一、万有引力定律5
\l "_Tc6217" 二、对万有引力定律的理解6
\l "_Tc6217" 三、重力与万有引力的关系6
\l "_Tc6217" 四、万有引力的应用8
\l "_Tc6217" 五、万有引力的成就8
\l "_Tc24812" 核心考点03 宇宙航行10
\l "_Tc3541" 一、卫星10
\l "_Tc22626" 二、卫星变轨分析11
\l "_Tc22626" 三、卫星追及问题13
四、三大宇宙速度14
\l "_Tc22626" 五、多星模型15
核心考点01 开普勒三大定律
一、开普勒第一定律
1、内容
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2、图例
3、对其理解
开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题，行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，如下图所示，不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的。
开普勒第一定律说明了太阳不是位于椭圆的中心，不同的行星不是位于同一椭圆轨道，而且不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内。
二、开普勒第二定律
1、内容
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
2、图例
3、对其理解
开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题。如下图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大。
近日点是行星距离太阳最近的点，远日点则为行星距离太阳最远的点。根据开普勒第二定律可知同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。
三、开普勒第三定律
1、内容
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
2、公式
，k是一个与行星无关的常量。
3、对其理解
开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题，椭圆轨道的半长轴a如下图所示：
由开普勒第三定律可知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值的大小由中心天体决定。
【注意】遇到题目中椭圆轨道求周期的情景时一般考虑开普勒第三定律。该定律也适用与圆轨道，此时半长轴a为半径r，即。
高中阶段行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。因此高中阶段的开普勒三大定律可以这样理解：
①多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有。要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同。
如图所示，2023年7月12日凌晨，月球与木星相伴出现在天宇，上演了星月争辉的浪漫天象。关于木星和月球的运动，下列说法正确的是（ ）

A．木星和月球都以太阳为中心做椭圆运动
B．木星在远日点的速度大于其在近日点的速度
C．月球与地球的连线和木星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积总是相等
D．月球绕地球运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值远小于木星绕太阳运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值
【答案】D
【详解】A．木星以太阳为中心做椭圆运动，而月球是绕地球运动，选项A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，木星在远日点的速度小于其在近日点的速度，选项B错误；
C．月球绕地球运动，木星绕太阳运动，运动轨道不同，则月球与地球的连线和木星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定是相等的，选项C错误；
D．根据
可得
其中M是中心天体的质量，因地球的质量远小于太阳的质量，则月球绕地球运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值远小于木星绕太阳运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值，选项D正确。
故选D。
核心考点2 万有引力定律
一、万有引力定律
1、内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2、表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。
3、适用条件
①适用于质点间的相互作用；②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。
二、对万有引力定律的理解
三、重力与万有引力的关系
如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=，M为地球的质量，m为地表物体的质量。
由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcs·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。
根据以上的分析可得：①在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R；②在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2；③在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)可分解为两个分力：重力mg与向心力F向。
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2)，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。
如图所示，为了实现人类登陆火星的梦想，2010年6月我国宇航员与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动。已知火星半径约为地球半径的，质量约为地球质量的，自转周期与地球基本相同。地球表面重力加速度是g，若宇航员在地面上以某一初速度能竖直向上跳起的最大高度是h，在忽略火星自转影响的条件下，下述分析正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度是g B．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的
C．宇航员以相同的初速度在火星上竖直起跳时，跳起的最大高度是h
D．同一宇航员在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的
【答案】B
【详解】A．根据万有引力与重力的关系，可得，火星表面的重力加速度是故A错误；
B．根据万有引力提供向心力，可得，火星第一宇宙速度为
故B正确；
C．根据动力学公式，，可得跳起的最大高度是，故C错误；
D．根据，同一宇航员在火星表面受到的万有引力为，故D错误。
四、万有引力定律的应用
在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝Geq \f(mM,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
在地球表面上，mg＝eq \f(GMm,R2)，在h高度处mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，所以eq \f(g,g′)＝，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略。
五、万有引力定律的成就
1、“称量”地球的质量和计算天体的质量
①求解地球质量
解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg＝Geq \f(mm地,R2)。
得到的结论：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
②计算天体的质量
解决思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r。
得到的结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
【注意】运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
我国发射的“嫦娥五号”月球探测器靠近月球后，在月球表面附近的圆轨道上绕月球运行，通过观测可知每经过时间t探测器通过的弧长相同，且弧长对应的圆心角为，如图所示。若将月球看作质量分布均匀的球体，已知引力常量为G，由上述已知条件可以求出（ ）
A．月球的质量B．月球的半径C．月球的密度D．月球表面的重力加速度
【答案】C
【详解】AB．依题意，探测器的角速度为，探测器的轨道半径近似等于月球的半径，设为R，由万有引力提供向心力可得联立，解得，题中月球半径未知，所以不能求出月球的质量。故AB错误；C．根据联立，解得，可知密度的表达式均为已知量。故C正确；D．由黄金代换，可得因为月球质量和半径均未知，所以不能求出月球表面的重力加速度。故D错误。
2、天体密度的计算
我国在航天技术方面取得了瞩目的成就，早在2021年2月10日“天问一号”成功实施了火星捕获，5月择机实施降轨软着陆火星表面。航天中心测得：当“天问一号”距火星表面高度约为火星半径的2倍时，其环绕周期为T。已知万有引力常量为G，则火星的密度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据万有引力提供向心力有
其中，解得，故选C。
核心考点3 宇宙航行
一、卫星
1、卫星轨道
卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。
2、运行规律
卫星做匀速圆周运动。万有引力提供向心力：即由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝man可推导出：①线速度：；②角速度：；③周期：；④向心加速度：。
3、三种卫星
①近地卫星：在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于
地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
②地球同步卫星：地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期
【注意】地球同步卫星的轨道平面、周期、角速度、高度、速率、绕行方向、向心加速度都是一定的。轨道平面一定（只能位于赤道上空，轨道平面和赤道平面重合）；周期一定（与地球自转周期相同，大小为T=24h＝8.64×104s。）；角速度一定（与地球自转的角速度相同）；高度一定（根据得）=3.6×107m）；线速度一定（根据线速度的定义，可得=3.08km/s，小于第一宇宙速度）；向心加速度一定（根据eq \f(GMm,R＋h2)=man，可得an＝eq \f(GM,R＋h2)＝gh＝0.23 m/s2）；绕行方向一定（与地球自转的方向一致）。
③极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
二、卫星变轨分析
轨道渐变问题：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。
当卫星的速度逐渐增加时，Geq \f(Mm,r2)＜meq \f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时减小。
当卫星的速度逐渐减小时，Geq \f(Mm,r2)＞meq \f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时增大。
离心运动：
当v增大时，所需向心力eq \f(mv2,r)增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝ eq \r(\f(GM,r))知其运行速度要减小，此时重力势能、机械能均增加。同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
卫星向心运动：当v减小时，所需向心力eq \f(mv2,r)减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝eq \r(\f(GM,r))知其运行速度将增大，此时重力势能、机械能均减少。情景分析，如下图所示：
先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点处点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
注意：卫星在不同轨道相交的同一点处加速度相等，但是外轨道的速度大于内轨道的速度。中心天体相同，但是轨道不同（不同圆轨道或椭圆轨道），其周期均满足开普勒第三定律。
变轨过程物体的分析如下：
【注意】卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝ eq \r(\f(GM,r))判断；卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大；卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
北斗卫星导航系统（BDS）是联合国卫星导航委员会认定的四大商用导航系统之一。图为北斗导航系统的部分卫星绕地球做匀速圆周运动的模型简图，下面说法正确的是（ ）

A．a、b两颗卫星运行的周期不相等 B．a、c两颗卫星运行的速率不同，但都大于7.9km/s
C．b、c两颗卫星运行的向心加速度大小相同
D．考虑稀薄大气阻力，若卫星没有进行能量补充，其机械能会变小
【答案】D
【详解】A．根据万有引力提供向心力可得，可得
由图可知a、b两颗卫星的轨道半径相等，则a、b两颗卫星运行的周期相等，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力可得，解得，第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，由于a、c两颗卫星的轨道半径不相等，则a、c两颗卫星运行的速率不同，但都小于，故B错误；
C．根据牛顿第二定律可得，可得
由于b、c两颗卫星的轨道半径不相等，则b、c两颗卫星运行的向心加速度大小不相同，故C错误；
D．考虑稀薄大气阻力，若卫星没有进行能量补充，由于大气阻力做负功，卫星的机械能会变小，故D正确。故选D。
三、卫星追及问题
1、问题的描述
同一中心天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远时都处在通过中心天体球心的同一条直线上。如果它们初始时的位置在该直线上，当内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是再次出现最近或最远的时刻。分析时根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。
2、两颗卫星相距最近时开始计时
①最近到最近，则角度关系建立方程(ω1>ω2)有：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近。
根据圈数关系建立方程，相距最近：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝ n，(n＝1,2,3，…)。
②最近到最远，则角度关系建立方程(ω1>ω2)有：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体相距最远。
根据圈数关系建立方程(T1 v3>v2>v1
加速度
在P点，卫星只受到万有引力作用，所以卫星当从轨道Ⅰ或者轨道Ⅱ上经过P点时，卫星的加速度是一样的；同理在Q点也一样。
周期
根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可得T1