天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知2、x、8成等比数列，则x的值为( )
A.4B.C.D.5
2．在空间直角坐标系Oxyz中,点关于原点成中心对称的点的坐标为( )
A.B.C.D.
3．已知直线l的方程为,则过点且与l垂直的直线方程为( )
A.B.C.D.
4．已知双曲线的一条渐近线方程为,则( )
A.8B.4C.D.2
5．已知点,直线,则点A到直线l的距离为( )
A.3B.2C.1D.
6．已知直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,若直线平面,则( )
A.B.20C.D.
7．已知圆,圆,则圆与圆的位置关系是( )
A.相离B.相交C.内切D.外切
8．若抛物线上一点P到其焦点的距离为5,则点P的坐标为( )
A.B.C.D.
9．已知等差数列的前n项和为,且,则当取得最小值时,n的值为( )
A.7B.6C.5D.4
10．青花瓷,中华陶瓷烧制工艺的珍品,是中国瓷器的主流品种之一.如图1,是一只内壁光滑的青花瓷大碗,碗口直径为20cm,碗深10cm.忽略瓷碗的厚度,瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线（如图2）,则该拋物线的焦点到准线的距离为( )
A.B.5cmC.10cmD.20cm
11．如图,在四棱锥中,平面平面,底面为直角梯形,,,,在平面内过点D作,交AB于O,连PO.设点E是平面上的动点,若直线与平面所成的角为,则的最小值为( )
A.2B.C.D.
12．已知数列的前n项和为,直线与圆交于,两点,且.若存在,使得有解,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为________.
14．已知向量,,且,则实数m的值为________.
15．椭圆上一点P到一个焦点的距离等于3,则点P到另一个焦点的距离是________.
16．已知数列满足,,则________.
三、双空题
17．已知直线与互相平行.
（1）实数________;
（2）直线与之间的距离是________.
18．如图,在平行六面体中,与的交点为M.
（1）设,,,则（用,,表示）;
（2）若,且,则CM与BA所成角的余弦值为________.
19．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法,有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.
（1）第n层的货物的价格为________万元:
（2）若这堆货物总价是万元,则n的值为________.
20．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点且倾斜角为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B.
（1）若,则双曲线C的离心率的取值范围为________;
（2）设弦的中点为M,且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于,则双曲线C的离心率的取值范围为________.
四、解答题
21．已知圆心为,且圆C经过点.
（1）求圆C的方程;
（2）过点作圆C的切线l,求切线l的方程.
22．如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点.
（1）求证:平面;
（2）求点B到平面的距离;
（3）求平面和平面夹角的余弦值.
23．已知椭圆的长轴长为4,焦距为2.
（1）求椭圆C的方程和离心率;
（2）设A为椭圆C的右顶点.若直线l与椭圆C有唯一的公共点M（M在第一象限）,直线l与y轴的正半轴交于点N,直线NA与直线OM交于点P(P为原点),且,求直线l的方程.
24．在等差数列中,,.
（1）求数列的通项公式和前n项和;
（2）若数列满足是公比为2的等比数列,且,.
（i）若集合中恰有2个元素,求实数的取值范围;
（ii）若对,都有,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为2、x、8成等比数列，
所以，解得；
故选：C.
2．答案：A
解析：点关于原点成中心对称的点的坐标为,
故选:A.
3．答案：C
解析：设所求直线方程为,
又直线过点,所以,,
所以直线方程为,
故选:C.
4．答案：B
解析：双曲线的渐近线方程为,
依题意可得,解得.
故选:B
5．答案：B
解析：由已知所求距离为,
故选:B.
6．答案：A
解析：直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,
因为直线平面,所以,解得.
故选:A.
7．答案：D
解析：圆的圆心为,半径为,
圆,整理得:,圆心,半径为,
因为,所以,
即两圆相外切,
故选:D.
8．答案：C
解析：抛物线的准线为,设,则,解得,
所以,解得,
所以点P的坐标为或.
故选:C
9．答案：C
解析：因为数列为等差数列,且,,
则,解得,数列为递增数列,
则,
令,即,解得,
则,,所以时,取得最小值.
故选:C
10．答案：B
解析：如图建立直角坐标系,可设抛物线方程为:,
由碗口直径为20cm,碗深10cm.可知:抛物线经过点,
代入得:,解得:,
所以该拋物线的焦点到准线的距离为5cm,
故选:B.
11．答案：D
解析：,则,又,
所以是矩形,因为,,所以,即是正方形,
从而O是中点,而,所以,,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
以O为原点,,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,
设,则,,,
设平面的一个法向量是,
则,取,得,
因为直线与平面所成的角为,
所以,化简得,
由得,
在时是增函数,
所以时,.
故选:D.
12．答案：B
解析：由题意圆O圆心为原点,半径为,
圆心到直线的距离为,
所以,
所以,
,,
时,,
所以,,
所以是等比数列,公比为3,所以,
不等式有解,即,,
设,当时,,
,,,
,
,时,,即,即数列从第5项开始递减,
所以的最大值是,
所以,
故选:B.
13．答案：
解析：因为直线的倾斜角为,
所以该直线的斜率.
故答案为:
14．答案：2
解析：因为,,且,
所以,解得.
故答案为:2
15．答案：5
解析：椭圆,则,设点P到另一个焦点的距离为d,
则,解得,即点P到另一个焦点的距离是5.
故答案为:5
16．答案：3
解析：因为,,,
所以,,同理.
故答案为:3.
17．答案：4;
解析：因为直线与互相平行,
所以,解得;
则直线,,
所以直线与之间的距离.
故答案为:4;
18．答案：;
解析：（1）,
,,,
;
故答案为:.
（2）由,
,
令,
;
,
由,得,
则,
设CM与BA所成角为,则,
所以.
故答案为:.
19．答案：;8
解析：①由第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.
已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.
可知货物单价组成一个等比数列,首项为,公比为,
所以（万元）,
即第n层的货物的价格为（万元;
②根据每一层的单价和件数可得每一层的总价为
所以总价
上面两式相减得:
整理得:
即（万元）
由于这堆货物总价是万元,所以,
故答案为:;.
20．答案：;
解析：（1）双曲线的渐近线方程为,
过点且倾斜角为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B,所以,
则双曲线C的离心率,即双曲线C的离心率的取值范围为;
（2）如图,设双曲线E的半焦距为c,连接,,因为,
所以,.设,
由双曲线的定义,得,,
所以,,,
所以,即.
设,则,
所以,解得.
又,所以,
解得,所以,即,
所以,即双曲线C的离心率的取值范围为.
故答案为:;
21．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由题意半径为,
所以圆方程;
（2）易知直线与圆C不相切,
设切线方程为,即,
由,解得或,
所以切线方程为或.即或.
22．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）.
解析：（1）在正方体中,可知,,
所以四边形是平行四边形,则,
又因为平面,平面,
所以平面
（2）如图建立空间直角坐标系,根据棱长为2的正方体,可得:
,,,,
即,,,
设平面的法向量为,
则,令,则,
所以平面的法向量,
即点B到平面的距离;
（3）由正方体可知平面的法向量可设为,
设平面和平面夹角为,
则.
23．答案：（1）,
（2）
解析：（1）依题意可得,所以,则,
所以椭圆C的方程为,离心率;
（2）如图所示:
直线的斜率存在且为负数,不妨设直线l的方程为,
则由题意有,,
所以直线的方程为,
将与椭圆方程联立,
消去y并整理得,,
由题意直线l与椭圆相切与点M,
则,即,
所以,,
即点M的坐标为,
所以直线的方程为,
将其与直线的方程联立,解得,,
即点P的坐标为,
由题意,整理得,
结合以及,,解得,,
综上所述,满足题意的直线l的方程为.
24．答案：（1）;
（2）（i）;
（ii）.
解析：（1）因为是等差数列,
所以,公差,
所以,从而,
,
（2）由,.知,,
又是公比为2的等比数列,
所以,解得,,
所以,
从而时,,也适合此式,
所以,
（i）集合中恰有2个元素,
不等式,为,所以,因此不等式恰有两个正整数解.
设,
,,
时,,即,时,,因此,,
所以数列从第2项开始是递减,
又,,,
所以不等式恰有两个正整数解,则.不等式的解为或.
实数的取值范围是.
（ii）若对,都有,
,
所以,
不等式为,从而,,
n为偶数时,,数列的偶数项中最小值是,所以,
n为奇数时,,数列的奇数项中最小值是,所以,,
综上,即的范围是.