四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A.B.C.D.
2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为( )
A.24B.25C.7D.8
3．已知等比数列满足，，则的值为( )
A.B.C.D.
4．已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( )
A.7B.6C.5D.4
5．已知直线上有动点A，点B为圆上的动点，则的最小值为( )
A.B.1C.D.2
6．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是( )
A.1B.2C.3D.4
7．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为( )
A.B.C.1D.
8．设数列的前n项和为，若，且存在正整数k，使得，则的取值集合为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．对于直线与圆，下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.直线l与圆C不可能相切
C.直线l被圆C截得的弦长的最小值为6
D.圆上一点到点的最大距离为8
10．已知数列的前n项和，则( )
A.
B.
C.数列的前项和为
D.
11．已知曲线E过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，下列结论正确的是( )
A.曲线E关于对称
B.若点在曲线E上，则其方程为
C.对于任意，曲线E围成的图形的面积一定小于
D.存在，使得曲线E上有5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．直线，，当时，直线与之间的距离为________.
13．已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为________.
14．已知数列是公差为2的等差数列，是公比为3的等比数列，且，设，则________.
四、解答题
15．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设求的前n项和.
16．设a为实数，圆M的方程为.
(1)若圆和圆M的公共弦长为，求a的值；
(2)若过点的圆N与圆M相切，切点为，求圆N的标准方程.
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，M是的中点，且平面，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
18．已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且（O为坐标原点）的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线与的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值.
19．设数列A：，，…，().如果对小于n()的每个正整数k都有，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：，2，，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得，则；
（3）证明：若数列A满足（），则的元素个数不小于.
参考答案
1．答案：C
解析：由于与垂直，
故，解得，
故，
故选：C
2．答案：D
解析：由题意，，，，
故选：D.
3．答案：C
解析：数列为等比数列，设数列的公比为q，
因为，，
所以，，
所以，即，
故.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，
点M在C上，所以M到准线的距离为，
又M到直线的距离为5，
所以，故.
故选：D.
5．答案：B
解析：由可知，该圆圆心为，半径为，
则圆心到直线l的距离，
故圆心到直线上的点的长度最短为2，
则.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意设两个圆锥曲线的焦距为，
椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
由它们有相同的焦点，得到，即.
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆的定义，②
得，
所以，
得，
所以，
又，故，
所以，
则的形状是直角三角形
即有的面积为.
故选：A.
7．答案：A
解析：如图，建立空间直角坐标系，
则，，
设，，所以，，
因为，所以，即，
所以，又，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，取，
所以当取得最小值时，点Q到平面的距离.
故选：A
8．答案：B
解析：因为，
所以
不妨令，可得，解得或（舍去），
所以.
又因为，所以或17，
因为，所以，所以.
当时，由，
所以，
当时，由，
又由，
所以.
所以的取值集合为.
故选：B
9．答案：BD
解析：对于A：可变形为，
由，得，所以直线l过定点，故A不正确；
对于B：圆的标准方程为，半径为3，由，所以点在圆C的内部，所以l与C相交，不会相切，故B正确；
对于C：当l与点和圆心的连线垂直时，l被C截得的弦长最小.
此时圆心到直线l的距离，
所以弦长的弦长最小值为，故C不正确；
对于D：圆上一点到点的最大距离为
，故D正确.
故选：BD.
10．答案：AC
解析：A选项，由已知，不适合，A正确，从而B错误；
时，，所以，
C选项，数列的前项和为：
，C正确；
D选项，
，D错.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A，先求曲线方程，设曲线E上除原点外一点为，
由已知，即.
若点在曲线E上，则也满足曲线方程，
所以曲线E关于直线对称，A正确；
对于B，将代入曲线方程，得，即，
故，此时方程为，B错误；
对于C，，所以，
由可知，，故E的图象位于内，
故，C正确；
对于D，由于，所以且，或者且，由可知，，
故其图象在第一，三象限，由曲线E的对称性可知，要使曲线E上有5个整点，则曲线E在第一象限内只能有两个整点，
当整点为时，，此时第一象限的整点只有在曲线E上，其有3个整点，不满足题意；
当整点为时，，此时第一象限的整点也在曲线E上，且，均不在曲线E上，其有5个整点，满足题意，
当整点为时，，此时第一象限的整点只有在曲线E上，其有3个整点，不满足题意；
当整点为时，，此时第一象限整点也在曲线E上，且，均不在曲线E上，其有5个整点，满足题意，
综上可得D正确.
故选：ACD
12．答案：/
解析：因为直线，，，
所以，解得或，
当时，直线，，两直线重合，不满足要求，
当时，直线，，两直线平行，满足要求，
所以当时，直线与之间的距离为.
故答案为：.
13．答案：/
解析：连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为G，
直线与圆相切，
，，
，，
O为的中点，，
相似于，且相似比为，
故，.
，，，.
在双曲线中，由双曲线定义知，
.
，，为直角三角形，
，即，解得，
故双曲线的离心率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为数列是公差为2的等差数列，是公比为3的等比数列，
且，所以，，
所以，又，
所以
，
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）因为，所以，即，
又因为，所以，，
所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以
，①
，②
由①－②，得
，
所以.
故的前n项和为.
16．答案：(1)1或；
(2)
解析：（1）由题知两圆相交，
将圆与圆相减可得，
即两圆公共弦所在直线方程，
圆心O到直线的距离为，
所以，解得或，
所以实数a的值为1或.
（2）将点代入圆，可得，
所以圆M的方程为，即，
所以圆M的圆心为，半径为，
设圆N的标准方程为，
因为圆N与圆M相切于点A，所以A、M、N三点共线，
所以直线的方程为，即，
将点代入得①，又点在圆N上，
则，即②，
由①②两式解得，，，，
所以圆N的标准方程为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）在菱形中，连接，
由已知底面是菱形，，，
为等边三角形，
因为M是的中点，所以，
因为平面，平面，所以.
因为平面，平面，
且，所以平面.
（2）因为平面，平面，则有，
由（1）知，，故，，两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
因为M是的中点，，，所以，
因为底面是菱形，，所以，
所以为等边三角形，由（1）也为等边三角形，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
又因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意可得，
由题意可得且，解得，，
椭圆的方程为：.
（2）解法1：由（1）可得，
当直线l没有斜率时，设方程为：，则，，
此时，化简得：，
又，解得或（舍去），此时P到直线l的距离为.
设直线l有斜率时，设，，
设其方程为：，联立可得
且整理可得：，
，
且，，，
整理可得：，
整理可得，
整理可得，
即，或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，若，则直线方程为：，
直线恒过定点，
P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于，点P到直线l距离的最大值.
解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，
，
，，
，
等式两边同时除以，，
，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，
P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于，点P到直线l距离的最大值.
19．答案：（1）的元素为2和4；
（2）详见解析；
（3）详见解析.
解析：（1）根据题干可得，，，，，，
满足条件，2满足条件，不满足条件，3不满足条件，
不满足条件，4不满足条件，，，，，均小于，
因此5满足条件，因此；
（2）因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数，.
因此，从而.
（3）设A数列的所有“G时刻”为，
对于第一个“G时刻”，有，
则.
对于第二个“G时刻”，有，
则.
类似的.
于是，.
对于，若，则.
若，则，否则由（2）知，，…，，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾.
从而.
另解：（3）
①若，由（2）可知，，此时结论成立；
②若，设，其中，，
不妨设，由题意，
所以，
同理，所以.
以此类推，我们有
，
，
……
，
将以上各式累加，得到，
故此时结论也成立.
综合①②可知，若数列A满足，则元素个数不小于.