2025中考数学一轮复习讲练 第26讲 图形的平移（含解析+考点卡片）

这是一份2025中考数学一轮复习讲练 第26讲 图形的平移（含解析+考点卡片），共25页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
2025年中考数学一轮复习
第26讲 图形的平移
一．选择题（共10小题）
1．已知点A（﹣2，3），B（﹣5，﹣1），将线段AB平移至A′B′，点A的对应点A′在x轴上，点B的对应点B′在y轴上，点A′的横坐标为a，点B′的纵坐标为b，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣7B．﹣1C．7D．1
2．在平面直角坐标系中，将点M（4，a）沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（ ）
A．9B．5C．3D．﹣1
3．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法错误的是（ ）
A．∠ACB＝∠DFE
B．AD∥BE
C．AB＝DE
D．平移距离为线段BD的长
4．如图，将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点（ ）
A．MB．NC．PD．Q
5．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，4）
6．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，3），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，3），则点E的坐标为（ ）
A．（6，0）B．（7，0）C．（0，7）D．（8，0）
7．如图，将直线m沿直线AB向右平移得到直线n．若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．30°C．120°D．100°
8．如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（ ）
A．旋转、平移B．平移、轴对称
C．旋转、轴对称D．平移
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是（5，1），将线段AB平移得到线段A′B′．已知平移后点B的对应点B′的坐标是（1，3），则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（6，5）C．（﹣2，0）D．（6，1）
10．如图，∠1＝100°，直线m平移后得到直线n，则∠3﹣∠2的度数为（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
二．填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为 cm．
12．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC平移至△A′B′C′的位置．若点A（﹣2，5）的对应点A′的坐标为（3，6），则点B（﹣5，3）的对应点B′的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C的坐标分别为（0，4），（3，2），点B在x轴正半轴上．将△ABC沿射线AB方向平移，若点A的对应点为A'（1，1），则点C的对应点C'的坐标为 ．
15．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，1），C（﹣1，1），将△ABC平移后，点A的对应点D的坐标是（2，4），则点B的对应点E的坐标是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△A′B′C′的顶点A′（4，4），B′（﹣1，2），C′（3，1），△A′B′C′是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，且点C的对应点坐标是C′．
（1）画出△ABC，并直接写出点C的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标为 ；
（3）若点D是x轴上一点，且S△OB′D＝S△ABC，求点D的坐标．
17．如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）作出三角形ABC向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积．
18．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，线段AB的端点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段AB先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到线段A1B1，请画出线段A1B1（其中A的对应点为A1）；
（2）借助网格过点O作出OP⊥AB，垂足为点P．
19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣5，﹣1），C（0，1），将△ABC平移后得到△A1B1C1，且△ABC内任意一点P（x，y）平移后的对应点为P1（x+3，y﹣4）．
（1）写出A1的坐标 ，
（2）请在图中画出△A1B1C1．
20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段AC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到线段A1C1，画出A1C1；
（2）连接AA1，CA1，画出△CAA1的高CD；
（3）借助网格，用无刻度的直尺，在AC上画出点E，使得DE∥CA1．
2025年中考数学一轮复习
第26讲 图形的平移
一．选择题（共10小题）
1．已知点A（﹣2，3），B（﹣5，﹣1），将线段AB平移至A′B′，点A的对应点A′在x轴上，点B的对应点B′在y轴上，点A′的横坐标为a，点B′的纵坐标为b，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣7B．﹣1C．7D．1
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据点A的对应点在x轴上得出纵坐标变化的规律，根据点B对应点在y轴上得出横坐标变化的规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），B（﹣5，﹣1），将线段AB平移至A′B′，点A的对应点A′在x轴上，点B的对应点B′在y轴上，
∴点A的横坐标加5，点B的纵坐标减3，
∴a＝﹣2+5＝3，b＝﹣1﹣3＝﹣4，
∴a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，将点M（4，a）沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（ ）
A．9B．5C．3D．﹣1
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：将点M（4，a）沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，即点N的坐标是为（2，a﹣3），
∵点N的横、纵坐标相等，
∴2＝a﹣3，
∴a＝5．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
3．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法错误的是（ ）
A．∠ACB＝∠DFE
B．AD∥BE
C．AB＝DE
D．平移距离为线段BD的长
【考点】平移的性质；平行线的判定．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平移的性质逐项进行判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知，∠ACB＝∠DFE，故选项A不符合题意；
由平移的性质可知，AD∥BE，故选项B不符合题意；
由平移的性质可知，AB＝DE，故选项C不符合题意；
由平移的性质可知，平移距离为线段BE的长，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确判断的前提．
4．如图，将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平移的性质判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知：将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点点N，如图所示，
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
5．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，4）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由B（3，0）可得OB＝3，进而得到BE＝1，即将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的，
∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换﹣平移，根据题意得到将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE是解答本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，3），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，3），则点E的坐标为（ ）
A．（6，0）B．（7，0）C．（0，7）D．（8，0）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】利用平移的性质结合图象求得平移距离，解决问题即可．
【解答】解：∵A(3，3)，D(6，3)，
∴△OAB向右平移3个单位得到△CDE，
∵B（4，0），
∴E（7，0）．
故选：B．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．如图，将直线m沿直线AB向右平移得到直线n．若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．30°C．120°D．100°
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】先利用平移的性质得到l1∥l2，则根据平行线的性质得到∠3＝120°，然后根据对顶角的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵直线l1沿AB的方向平移得到直线l2，
∴l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣60°＝120°，
∴∠2＝∠3＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
8．如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（ ）
A．旋转、平移B．平移、轴对称
C．旋转、轴对称D．平移
【考点】利用平移设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转；轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
【解答】解：甲图案先绕根部旋转一点角度，再平移即可得到乙，只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平移、对称、旋转．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是（5，1），将线段AB平移得到线段A′B′．已知平移后点B的对应点B′的坐标是（1，3），则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（6，5）C．（﹣2，0）D．（6，1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
【分析】根据点B平移前后的坐标确定线段AB的平移方式，进而确定点A′的坐标．
【解答】解：由题意，得线段AB的平移方式是向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度，
所以点A的对应点A′的坐标是（2﹣4，3+2），即（﹣2，5）．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是确定线段AB的平移方式．
10．如图，∠1＝100°，直线m平移后得到直线n，则∠3﹣∠2的度数为（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【考点】平移的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意得m∥n，过点B作BC∥m，则BC∥n，根据两直线平行，同旁内角互补和内错角相等即可求解．
【解答】解：由题意得m∥n，过点B作BC∥m，则BC∥n，
∵BC∥m，∠1＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1＝80°，
∵BC∥n，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠3＝∠ABC+∠CBD，
∴∠3﹣∠2＝∠ABC＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为 24 cm．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】24．
【分析】根据平移的性质可得DF＝AC，再求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长加上AD与CF，然后计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD
＝AB+BC+CF+AC+AD
＝△ABC的周长+AD+CF
＝18+3+3
＝24cm．
故答案为：24cm．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与△ABC的周长的关系是解题的关键．
12．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为 ﹣1 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据平移的性质即可求解．
【解答】解：∵将线段AB平移至CD，且A（1，0），B（4，m），C（﹣2，1），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC平移至△A′B′C′的位置．若点A（﹣2，5）的对应点A′的坐标为（3，6），则点B（﹣5，3）的对应点B′的坐标为 （0，4） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（0，4）．
【分析】根据点A和点A′的坐标可得出平移规律，然后再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵顶点A（﹣2，5）的对应点是A′（3，6），
∴﹣2+5＝3，5+1＝6，
∴将△ABC平移至△A′B′C′的规律为：将△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到△A′B′C′，
∵B（﹣5，3），
∴B′的坐标是（﹣5+5，3+1），即（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C的坐标分别为（0，4），（3，2），点B在x轴正半轴上．将△ABC沿射线AB方向平移，若点A的对应点为A'（1，1），则点C的对应点C'的坐标为 （4，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（4，﹣1）．
【分析】依据点A（0，4）的对应点A′的坐标为（1，1），可得出平移规律，再利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：∵点A（0，4）的对应点为A′（1，1），
∴平移规律为向右平移1个单位长度，先下平移3个单位长度，
∴点C的对应点C'的坐标为（3+1，2﹣3），即（4，﹣1）．
故答案填：（4，﹣1）．
【点评】本题考查了平移中点的变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．左右移动改变点的横坐标，上下移动改变点的纵坐标．
15．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，1），C（﹣1，1），将△ABC平移后，点A的对应点D的坐标是（2，4），则点B的对应点E的坐标是 （1，2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1，2）．
【分析】利用图象法，可得结论．
【解答】解：观察图象可知点B的对应点E的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解平移变换的性质．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△A′B′C′的顶点A′（4，4），B′（﹣1，2），C′（3，1），△A′B′C′是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，且点C的对应点坐标是C′．
（1）画出△ABC，并直接写出点C的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标为 （a﹣3，b+2） ；
（3）若点D是x轴上一点，且S△OB′D＝S△ABC，求点D的坐标．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）点C坐标为（6，﹣1），作图见解析；
（2）（a﹣3，b+2）；
（3）点D坐标为(132，0)或(−132，0)．
【分析】（1）根据平移的性质作图，再写出点C的坐标，即可得出答案；
（2）依据平移的性质直接写出坐标即可；
（4）先求出S△ABC，从而得出S△OB'D=S△ABC=132，再分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）作图如下，则△ABC为所求；
点C坐标为（6，﹣1），
（2）∵P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，即将P（a，b）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点P′，
∴P′（a﹣3，b+2），
故答案为：（a﹣3，b+2）；
（3）∵S△ABC=5×3−(12×2×5+12×1×3+12×1×4)
=15−(5+32+2)=132．
∴S△OB'D=S△ABC=132，
∵点D在x轴上，
∴S△OB'D=12×2OD=OD，
∴OD=132．
①当点D在x轴的正半轴，则点D坐标为(132，0)，
②当点D在x轴的负半轴，则点D坐标为(−132，0)，
综上所述，点D坐标为(132，0)或(−132，0)．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
17．如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）作出三角形ABC向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）图形见解答；
（2）3.5．
【分析】（1）根据平移的性质即可作出三角形ABC向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形A1B1C1；
（2）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3−12×2×3−12×1×2−12×1×3＝3.5．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
18．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，线段AB的端点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段AB先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到线段A1B1，请画出线段A1B1（其中A的对应点为A1）；
（2）借助网格过点O作出OP⊥AB，垂足为点P．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）利用网格，结合垂线的定义画图即可．
【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
（2）如图，OP即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、垂线，熟练掌握平移的性质、垂线的定义是解答本题的关键．
19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣5，﹣1），C（0，1），将△ABC平移后得到△A1B1C1，且△ABC内任意一点P（x，y）平移后的对应点为P1（x+3，y﹣4）．
（1）写出A1的坐标 （1，0） ，
（2）请在图中画出△A1B1C1．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）A1（1，0）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据点P（x，y）平移后的对应点为P1（x+3，y﹣4）可得图形各点横坐标+3，纵坐标﹣4，算出A1的坐标；
（2）根据点P（x，y）平移后的对应点为P1（x+3，y﹣4）可得图形各点横坐标+3，纵坐标﹣4，算出各点坐标后，再确定位置，然后再连接即可．
【解答】解：（1）A1的坐标（1，0），
故答案为：（1，0）；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣﹣平移变换，求网格中三角形的面积，解题的关键是正确运用割补法．
20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段AC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到线段A1C1，画出A1C1；
（2）连接AA1，CA1，画出△CAA1的高CD；
（3）借助网格，用无刻度的直尺，在AC上画出点E，使得DE∥CA1．
【考点】作图﹣平移变换；平行线的判定；勾股定理．
【专题】几何图形；运算能力．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析；
（3）图见解析．
【分析】（1）根据平移的性质即可找到A，C的对应点，故可求解；
（2）连接AA1，CA1，得到AC＝A1C，找到AA1的中点，根据三线合一即可得到高；
（3）将CA1平移，A1的对应点为D，C的对应点为F，DF与AC的交点即为E点．
【解答】解：（1）如图，线段A1C1为所求；
（2）如图，连接AA1，CA1，△CAA1为所求；
∵AC=12+32=10，A1C=12+32=10，
∴AC＝A1C，
取AA1的中点D，故CD⊥AA1，
故线段CD为所求；
（3）将CA1平移至FD，A1的对应点为D，C的对应点为F，DF与AC的交点即为E点，
故FD∥CA1，
故E点为所求．
【点评】此题主要考查网格作图，解题的关键是根据网格的特点，平移，做高以及平行线．
考点卡片
1．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
4．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
5．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
6．利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．