江苏省苏州市2025届高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题

这是一份江苏省苏州市2025届高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x||x−1|≤1−x}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}
2.设i是虚数单位，若复数z满足z(1+i)=i，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
3.已知平面向量a，b，则a=λb(λ∈R)是a，b共线的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.sin(2α+π6)sinα−2cs(α+π6)=( )
A. csα2B. 12csαC. sinα2D. 12sinα
5.设等比数列an的前n项和为Sn，且S22=S66=2，则a2025=( )
A. 122024B. 2C. 2025D. 22024
6.已知函数f(x)=ex−a(x−1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (2e,+∞)D. (e2,+∞)
7.现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为( )
A. 215B. 15C. 415D. 25
8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，两渐近线分别为l1，l2，过F作l1的平行线与l2交于点M，记△MOF内切圆圆心为I.若OI⊥l1，则C的离心率为( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，则下列说法中正确的有( )
A. f(x)的图象关于直线x=π6对称
B. f(x)的图象关于点(π3,0)对称
C. 若f(x1)−f(x2)=2，则|x1−x2|的最小值为π2
D. 若f(x1)+f(x2)=2(x1≠x2)，则|x1+x2|的最小值为π2
10.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀.整理数据如下表：
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
参考数据：
则下列说法正确的有( )
A. 甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B. 甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C. 甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D. 对于小概率值α=0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
11.已知P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上一动点，M，N分别是线段B1C和CC1的中点，点Q满足MQ=λMN(0≤λ≤1)，且A1P⊥DQ，设P的轨迹围成的图形为多边形Ω，则( )
A. Ω为平行四边形
B. 存在λ，使得Ω的面积为 22
C. 存在λ，使得Ω和底面ABCD的夹角为π3
D. 点B和Ω形成的多面体的体积不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为4，M到x轴的距离为 3p，则p的值为 ．
13.已知x8=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a8(x−1)8，则a2的值为 ．
14.已知函数f(x)=x−2x，g(x)=x，h(x)=−3x+m，若h(x)的图象与f(x)和g(x)的图象从左到右依次交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)三点，则f(x3−x1)−3g(x2−2x1)的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=a(csC+ 3sinC)，D为边BC上一点，BD=2DC，AD=3．
(1)求A;
(2)若AD平分∠BAC，求a．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx.
(1)若a=1，求f(x)的极小值;
(2)若f(x)的图象与直线y=kx−1切于点(a2,f(a2))，求k的值．
17.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60∘，PC=PD，M，N分别为线段DC和线段PA的中点．
(1)求证：平面PBM⊥平面PDC;
(2)若PB⊥BM，PB=1，求直线DN与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.当高尔顿板共有n+1(n∈N*)行小木钉时，第i行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，⋯，i−1(2≤i≤n+1,i∈N)，底部格子从左到右分别编号为0，1，2，⋯，n，用X表示小球最后落入格子的号码．
(1)若n=10，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率;
(2)记X的数学期望为En(X)，记an=1En(X)，bn=2an+an+1．
①设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn>n(n+1)4;
②设与bn最接近的整数为cn，求数列cn的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答：当△ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AQB=∠BQC=∠CQA=120∘的点Q即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，直线l交C于A，B两点，点M(x0,y0)在C上.当M的坐标为(0, 3)时，△MF1F2的费马点的坐标为(0, 33).
(1)求C的方程;
(2)当M为C的右顶点时，若MA⊥MB，求l与x轴的交点的坐标;
(3)当l过点(x07,−y07)时，记△MAB的费马点为P，△PMA，△PMB，△PAB的面积分别为S1，S2，S3，求S1+S2S3的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】28
14.【答案】−3 2
15.【答案】解：(1)因为b+c=a(csC+ 3sinC)，
由正弦定理得sinB+sinC=sinA(csC+ 3sinC)，
则sin(A+C)+sinC=sinA(csC+ 3sinC)，即csAsinC+sinC= 3sinCsinA，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，
又因为A∈(0,π)，所以A=π3;
(2)因为AD平分∠BAC，所以cb=BDDC=2，即c=2b，
由面积相等得12⋅3⋅2b⋅sinπ6+12⋅3⋅b⋅sinπ6=12⋅b⋅2b⋅sinπ3，
解得b=3 32，所以c=3 3．
由余弦定理得a2=(3 32)2+(3 3)2−2⋅3 32⋅3 3⋅csπ3=814，
所以a=92．
16.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f(x)=x2−x−lnx，f′(x)=2x2−x−1x，
令f′(x)=0，得x=1，
当00，
所以bn>n2．
所以数列{bn}的前n项和Sn>k=1nk2=n(n+1)4．
②因为2n+1