高考数学专题14 立体几何综合专项练习（教师版+学生版）

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一、解答题
1．（2024新高考Ⅰ卷·17）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
2．（2024新高考Ⅱ卷·17）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得．
(1)证明：；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
一、解答题
1．（2022新高考Ⅰ卷·19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
2．（2023新高考Ⅰ卷·18）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
3．（2022新高考Ⅱ卷·20）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
4．（2023新高考Ⅱ卷·20）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
一、直线的方向向量
1、直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
2、共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
3、共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
二、空间向量的数量积运算
1、两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
2、数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
3、空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）．
三、空间向量的坐标运算及应用
1、设，，则；
；
；
；
；
．
2、设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
3、两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
4、向量在向量上的投影为．
四、法向量的求解与简单应用
1、平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一个平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
2、判定直线、平面间的位置关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；
若，即，则．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；
若，即，则．
3、平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
五、空间角公式
1、异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
2、线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
3、二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
六、空间中的距离
求解空间中的距离
1、异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
2、点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
一、解答题
1．（2024·江西九江·三模）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，为等边三角形.
(1)证明：；
(2)若二面角的大小为，求二面角的正弦值.
2．（2024·安徽芜湖·三模）如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面，
(1)求证：两两垂直；
(2)若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值．
3．（2024·四川成都·三模）如图，三棱柱所有棱长都为2，，D为与交点．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
4．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.
(1)求证：，，，四点共面：
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
5．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，.
(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；
(2)若面面；求：
（ⅰ）平面与平面CEF所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面CEF的距离.
6．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2024·河北秦皇岛·三模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
(1)证明：.
(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.
8．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线．
(1)证明：；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值．
9．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
10．（2024·广东汕头·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是中点，是中点.
(1)证明：直线平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
11．（2024·浙江绍兴·三模）如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设平面交棱于点．
(1)求；
(2)求二面角的平面角的正切值．
12．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱台中，，
，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，四棱台的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
13．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱中，，M，N分别为，中点，且．
(1)证明：；
(2)若D为棱上的动点，当与平面所成角最大时，求二面角的余弦值.
14．（2024·四川成都·三模）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，且二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
15．（2024·山东青岛·三模）如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2.
(1)证明:平面；
(2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求.
16．（2024·新疆喀什·三模）如图，在正四棱台中，，，是的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值
17．（2024·浙江·三模）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面底面，，，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点．
(1)当P是线段的中点时，求点P到平面的距离；
(2)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求．
18．（2024·湖南邵阳·三模）如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若为的中点，证明：平面平面；
(2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.
20．（2024·贵州六盘水·三模）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
21．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四边形，平面，，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．（2024·浙江绍兴·三模）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．
(1)求证：为三棱锥外接球的球心；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时