2025届山东省威海市文登区高三上学期第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届山东省威海市文登区高三上学期第一次模拟考试数学试卷（解析版），共18页。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，所以，
或x>1，
由，得，所以，
所以.
故选：D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由，
可得，
则，则.
故选：C
3. 已知命题，命题，则成立是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：由，得，解得；
由，得，
当时，成立；
当时，，解得 ，综上，
所以成立是成立的充分不必要条件，
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故
.
故选：A
5. 已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由圆方程得：圆心，半径；
由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则，
由椭圆定义知：，；
（当且仅当三点共线时取等号），
，
又（当且仅当三点共线时取等号），
，即的最大值为.
故选：D.
6. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
则是偶函数，
又，当时，恒成立，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，且，即，所以，
则，所以选项B正确，
当时，，所以选项A和D错误，
当时，，所以选项C错误，
故选：B.
7. 已知定义在上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图像所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 14
【答案】C
【解析】依题意，是定义在R上的偶函数，图像关于直线对称，
因为，
所以，
所以是周期为周期函数，
所以的图像关于直线对称.
函数的图像也关于直线对称.
当时，.
当时，，，
当时，，，
，
所以直线与曲线y=gx相切于点2,1.
画出、在区间上的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有个公共点，
所以所有交点的横坐标之和为.
故选：C
8. 在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 是的一个周期B. 是的一条对称轴
C. 的值域为D. 在上单调递减
【答案】BC
【解析】图像如图所示：
由图像可得，函数的最小正周期为2π，故选项A错误，不符合题意；
是的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；
的值域为，故选项C正确，符合题意；
在上先增后减，选项D错误，不符合题意；
故选：BC.
10. 如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为1的正项数列，则（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列的前项和为
C. 数列为递增数列
D.
【答案】ABD
【解析】A选项，因为为边上的一列点，
设，
即，所以
，
即，所以，
即，所以数列为公比为2的等比数列，A正确；
B选项，因为，所以，
故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，，
的前项和为
，B正确；
CD选项，，故，显然，
则数列不是递增数列，C错误，D正确.
故选：ABD
11. 已知正方体的棱长为，点满足，则（ ）
A. 点到平面的距离为
B. 二面角的正弦值为
C. 当时，过点的平面截该正方体外接球所得截面面积的取值范围为
D. 若是对角线上一点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】如图1，易知，面，面，
所以面，
对于选项A，因为，即点在线段上（含端点），
因为面，所以到平面的距离，也即到平面的距离，
连接交于，易知为中点，
则到平面的距离等于到平面的距离，
又正方体的棱长为，则，所以，
设到平面的距离为，
由，得到，解得，所以选项A正确，
对于选项B，如图1，取中点，中点，连接，
易知，所以为二面角的平面角，
在中，，，
所以，则，所以选项B错误，
对于选项C，正方体的外接球的球心为正方体的体心，且外接球的直径为正方体的体对角线长，
则，当过点的平面经过球心时，此时平面截该正方体外接球所得截面面积最大，截面面积为，
当过点的平面经不过球心时，不妨设截面圆的半径为，球心到截面圆的距离为，
则，显然有，当且仅当为截面圆的圆心时取等号，
即截面圆的直径为，此时，
所以平面截该正方体外接球所得截面面积最小值为，故选项C正确，
对于选项D，如图2，
将平面绕着旋转到位置，使之与平面在一个平面内，
因是对角线上一点，要使最小，需使三点共线，且.
设，则，
故，
于，故选项D正确，
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为__________.
【答案】
【解析】如图作出圆锥的轴截面，
根据题意可知,,
所以可得,
根据三角形相似可得,所以,可求得,
根据圆柱侧面积公式可得.
故答案为：
13. 已知函数，若将函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图像向右平移个单位长度，得到的函数图像关于轴对称，则__________.
【答案】
【解析】，变换后函数式为
，它的图像关于轴对称，
则，,
又，所以，故答案为：．
14. 已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于，两点.若以的中心为圆心，的长为直径的圆与的右支的一个交点恰为，若，，成等差数列，则的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】如图所示，由已知以的中心为圆心，的长为直径的圆过点，
可知，
再由，，成等差数列，
得，
由双曲线定义可知，，
则，
即，，
又，
则，即，
则，
即渐近线方程为，
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的各项均为正数，其前项和记为，其中为常数且.
（1）若数列为等差数列，求；
（2）若，求.
解：（1）当时，，解得，
当时，，解得，
因为数列为等差数列，所以，
即，解得，
所以，公差为2，所以.
（2）当时，①
所以②
所以②-①得，，
因为，所以，
当时，，解得，
所以数列的奇数项成等差数列，首项为，公差为；
偶数项成等差数列，首项为，公差为，
所以.
16. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
解：（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，
此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面为等边三角形，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
（1）证明：取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为平面，
所以平面.
（2）解：连接，
因为，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则
所以，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，
当且仅当即时取得最大值，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围.
解：（1），
①当时，的定义域为0,+∞，
令f'x>0，即得，所以，
因为，解得：；
令，解得：，
②当时，的定义域为，
令f'x>0，即得，所以，
因为，解得：，
令，解得：，
综上：当时，的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，
单调递增区间为.
（2）由题意知：设的切点横坐标，
则hx在处的切线方程为.③
设的切点横坐标，
则在处的切线方程为.④
联立③④，得，
当时，，代入方程组，不成立，
所以消去得.
设函数且.
令，得或.
令φ'x>0，解得且；令φ'x