2023~2024学年安徽省A10联盟高一上学期期末检测数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年安徽省A10联盟高一上学期期末检测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由解得：或，
因为，所以.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则成立；
若，则或，
故不一定成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 计算（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A. 6B. 16C. 20D. 18
【答案】D
【解析】因为正数，满足，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
5. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为
.
故选：B
6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】C
【解析】由题意，
所以，
所以.
故选：C.
7. 将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将函数向右平移个单位，
得到，
再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数的图象.
故选：A
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，即，
令，由①得：，
解得：，所以．
又因为，
即，则，
所以函数是以为周期的函数，
所以
．
.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上.）
9. 已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，，而，故A不正确；
对于B，因为为减函数，，所以，故B正确；
对于C，因为为增函数，，所以，故C正确；
对于D，，而，故D不正确.
故选：BC.
10. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，.下列结论正确的是（ ）
A. 对，若，则
B. 函数是上的奇的数
C. 对任意实数，
D. 对任意实数，
【答案】AD
【解析】对于A：对，若，则，即，
故A正确；
对于B：例如，，即，
故函数不是奇函数，故B错误；
对于C：取，，，
不满足，故C错误；
对于D：设，其中为的整数部分，，为的小数部分，，
则，，
若，可得，，
若，可得，，
所以对任意实数，，故D正确.
故选：AD.
11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，
A正确；
对于B：因为，当且仅当时取等号，
故B正确；
对于C：因为，，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：当时，满足，
但是，故D错误.
故选：ABC.
12. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上的值域为
【答案】ABD
【解析】因为的图象关于直线对称，所以，即，；
因为，所以，即.
，故A正确；
，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
令，由可得，
因为，所以函数在区间上不是单调函数，故C不正确；
令，由可得，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 命题“”的否定是_________．
【答案】
【解析】因为“”的否定是“”.
14. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则_________．
【答案】
【解析】因为是周期为2的奇函数，所以，
因为当时，，所以，
所以.
15. 已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为偶函数在单调递减，，
所以在上单调递增，，
所以等价于，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
16. 已知函数，区间（且）满足：在区间上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间中，的最小值为_________．
【答案】
【解析】令，解得或，，
即的相邻两零点间隔为或，
故若在上至少含有20个零点，则的最小值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数，设集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
解：（1）由，即恒成立，
，解得.
所以实数的取值范围为.
（2）由，是的充分条件，
所以，得，即，解得.
所以实数的取值范围为.
18. 已知函数周期为，其中．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数在上的简图．
解：（1）由题意可得，所以；
令，，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）列表如下：
描点，连线，其简图如下：
19. 已知函数是奇函数．
（1）求实数的值并判断函数单调性（无需证明）；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为是奇函数，所以，解得；
当时，，定义域为，
又符合题意.
所以，因为为增函数，所以为减函数.
（2）等价于，
即；
因为为减函数，所以，即；
令，则上式化为，即；
所以.
20. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本（万元），当年产量不足70台时，（万元）；当年产量不小于70台时，（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解：（1）由题可知当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，
则时，有最大值（万元）；
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值（万元）；
综上，年产量为90台时，该厂在这一商品生产中所获利润最大.
21. 已知函数为奇函数，且图象相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的最小值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为试确定的值，并求的值.
解：（1）
.
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，所以，因为，所以，
所以函数.
所以，
令，则，
故原函数最小值为的最小值，其对称轴为，
在单调递增，在单调递减，
且，
所以时，有最小值，
所以的最小值为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到，
令，则，
因为，所以，
令，则，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有6个交点，
所以方程在上共有6个根，即，
因为
，
所以
.
22. 对于函数，为函数定义域，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.
（1）若函数是“同比不增函数”，求的取值范围；
（2）是否存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为函数是“同比不增函数”，则恒成立，
所以恒成立，
所以，
即，由于，所以.
所以的取值范围是.
（2）存在，理由如下：
，
画出的图象如下图所示，
的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，对任意的，都有成立，
所以存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，且.0
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