天津市和平区2024-2025学年高二上学期期末质量调查数学试卷(含答案)

这是一份天津市和平区2024-2025学年高二上学期期末质量调查数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的一个方向向量为( )
A.B.C.D.
2．长方体中，，，则( )
A.B.
C.D.
3．已知数列为等差数列，，是方程的两个实数根，则( )
A.3B.C.4D.
4．已知直线与直线平行，则与之间的距离为( )
A.1B.2C.3D.4
5．已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线C的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线C的标准方程为( )
A.B.
C.或D.或
7．已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前n项和为，则( )
A.5050B.200C.100D.50
8．已知椭圆上存在两点M，N关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为( )
A.B.C.D.
9．已知圆及直线，给出下列结论：①圆C被x轴截得的弦长为；②直线l恒过定点：③时，直线l被圆C截得弦长取最大值；④直线l被圆C截得弦长最小值为.其中正确结论的个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
10．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片_________块.
11．已知直线l过点，在轴x和y轴上的截距相等，则直线l的方程为_________.
12．已知抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为_________.
13．圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为__________.
14．正方体的棱长为4，E，F分别为，的中点，O为底面的中心，则点O到平面的距离为_________.
15．已知O是坐标原点，F是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线C交于A，B两点（异于原点O），若，则双曲线离心率是_________.
三、解答题
16．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，求数列的前n项和.
17．已知圆心为C的圆经过和两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点作圆C的切线l，求切线l的方程.
18．如图，三棱台中，侧棱平面，，，，
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
19．已知数列的前n项和为，，
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式：
(3)若，数列的n项和为，求证：.
20．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为的直线l与椭圆C交于两点A，B，判断在x轴上是否存在点D，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点D横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由得，，
所以直线的一个方向向量为，
而，
所以也是直线的一个方向向量.
故选：B.
2．答案：A
解析：
由向量的运算法则得，,
代入，，，
所以.
故选：A
3．答案：A
解析：由题意可得，
解得.
故选：A.
4．答案：C
解析：由直线与直线平行，得，
所以与之间的距离为.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意可得，
而平面的一个法向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
结合线面角范围为，
可知直线与平面所成角的大小为，
故选：D
6．答案：D
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，
其方程可设为：，
依题意，，因，
故得，，双曲线方程为：；
当双曲线的焦点在y轴上时，其方程可设为：，
依题意，，因，
故得，
双曲线方程为：，
即.
故选：D.
7．答案：C
解析：由可得，
所以，
即数列为常数列，
所以，所以，
则，
所以，
所以.
故选：C.
8．答案：A
解析：设点、，
线段的中点为，
则，
由题意，椭圆的离心率为，
可得，
因为M、N关于直线对称，
且直线的斜率为2，
则，
将点M、N的坐标代入椭圆方程可得，
上述两个等式作差可得，
可得，
即，
即，即，
又因为点在直线上，
则，
则有，
解得，
故线段的中点为.
故选：A.
9．答案：D
解析：由圆，
则圆心，半径，
则圆C与x轴的交点为，
则圆C被x轴截得的弦长为，故①正确；
由直线，
即直线，
由，解得，
即直线l恒过定点，故②错误；
由，则点在圆C内部，
当直线l过圆心时，直线l被圆C截得弦长最大，
此时，即，故③正确；
当时，直线l被圆C截得弦长最小，
此时，
则直线l被圆C截得弦长最小值为，故④正确.
故选：D.
10．答案：390
解析：设第层铺了块瓦片，为前n项和，
由题意可得，且为公差为1的等差数列，
则，
.
故答案为：390.
11．答案：，
解析：当直线在x轴和y轴上的截距为零时，
设直线方程为，
因为直线直线l过点，
所以，则直线方程为，
当直线在x轴和y轴上的截距不为零时，
设直线方程为，
因为直线l过点，
所以，则直线方程为，
综上直线在x轴和y轴上的截距相等时，
直线l的方程为，，
故答案为：，
12．答案：.
解析：由题意，，故其焦点在y轴正半轴上，.
∴焦点坐标为，
故答案为：
13．答案：
解析：由于的圆心和半径分别为，
圆的圆心和半径分别为，
故两圆的圆心距为，且，
故两圆相交，因此直线的方程为，
即，
故答案为：
14．答案：
解析：在棱长为4的正方体中，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
令平面的法向量，
则，
取，得，
所以点O到平面的距离为.
故答案为：
15．答案：或
解析：当A、B在焦点左侧时，
因为渐近线关于x轴对称，所以，
过A作交x轴于D点，
设，则，，
由抛物线定义得，
因为，所以，
所以，因为，
所以，
当A，B在焦点右侧时，
过A作交x轴于D点，
所以，设，
则，，
由抛物线定义得，
因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以或.
故答案为：或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)根据为等差数列，设公差为
由已知，即①，
由，，成等比数列，②，
由①②解得，数列的通项公式为.
(2)由(1)得，
所以
由，
.
所以，
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为，
所以的中点坐标为，
，则弦垂直平分线的斜率为-1，
弦的垂直平分线的方程为，
即，
与直线联立解得：，
所以圆心C坐标为，
所以圆的半径，则圆C的方程为：，
(2)由(1)知，圆心，半径为1，
当l的斜率不存在时，直线方程为,与圆相切，符合题意，
当l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，
则切线l的方程为，
即，
由圆心到切线距离等于圆的半径1，得，解得，
所以切线方程为，即，
所以切线l的方程为或.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为侧棱平面，
，平面，
所以，
又，故，，两两垂直，
以A为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，
，
可得，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，
所以为平面的一个法向量，
因为，
则，
所以，
所以平面.
(2)为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值等于.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)由，
可得，即，
则，所以，
因此是首项为4，公比为2的等比数列.
(2)由(1)可知，
当时，，
当时，，时也适合，
所以.
(3)因为，
①
②
①-②得，
所以.
因为，
所以.
20．答案：(1)
(2)存在，
解析：(1)由题意，的周长为，
则，所以，
又因为，所以，
由，得，
所以椭圆C的方程为.
(2)设直线l的方程为，，
设，，的中点为.
假设存在点，
使得为以为底边的等腰三角形，则.
由
得，
由题意有，解得，
故，
所以，
因为，所以，即，
所以，整理得，
则方程有根，
整理得，即，
又因为，所以，
综上：在x轴上存在点D，使得是以为底边的等腰三角形，
点D横坐标m的取值范围是.