湖北省随州市2025届高三上学期1月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省随州市2025届高三上学期1月期末联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若存在实数x,使得成立,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
2．已知函数在处有极小值,则c的值为( )
A.2B.4C.6D.2或6
3．已知向量,,,若,则m等于( )
A.B.C.D.
4．已知等比数列的公比为q（且）,若,则q的值为( )
A.B.C.2D.4
5．如图,为圆O的直径,,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A、C重合的点,于S,于N,则下列不正确的是( )
A.平面平面PBCB.平面平面PAB
C.平面平面PBCD.平面平面PAC
6．已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
A.B.2C.D.
7．的展开式中的系数是( )
A.60B.80C.84D.120
8．在某次太空游行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中A,B两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A.18种B.36种C.72种D.108种
二、多项选择题
9．如果函数的导函数的图象如图所示,则以下关于函数的判断正确的是( )
A.在区间内单调递减B.在区间内单调递增
C.是极小值点D.是极大值点
10．下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线
D.若,,则
11．树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计,得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图）,则下列说法正确的是( )
A.成绩前200名的200人中,高一人数比高二人数多30
B.成绩第名的100人中,高一人数不超过一半
C.成绩第名的50人中,高三最多有32人
D.成绩第名的50人中,高二人数比高一的多
三、填空题
12．若命题“,是假命题”,则实数a的取值范围是____________.
13．若函数有极值,则实数a的取值范围是______________.
14．设等差数列的前n项和为.若,则的最大值为_______________.
四、解答题
15．已知,求下列各式的值：
(1);
(2).
16．若平面上的三个力,,作用于一点,且处于平衡状态,已知,,与的夹角为,求:
(1)的大小;
(2)与的夹角的大小.
17．记数列的前n项和为,对任意正整数n,有,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)对所有正整数m,若,则在和两项中插入,由此得到一个新数列,求的前40项和.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,,E是PC的中点.求证：
(1);
(2)平面ABE.
19．已知定点,,动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知点,点A在轨迹C运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
参考答案
1．答案：C
解析：①当时,不等式化为,解得：,符合题意;
②当时,为开口方向向上的二次函数,
只需,即;
③当时,为开口方向向下的二次函数,
则必存在实数x,使得成立;
综上所述：实数m的取值范围为.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意,,
则,所以或.
若,则,时,,单调递增,时,,单调递减,时,,单调递增.函数在处有极小值,满足题意;
若,则,函数在R上单调递增,不合题意.
综上：.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为,,所以,又,,
所以,解得.
故选：A.
4．答案：C
解析：已知等比数列的公比为q（且）,若,
则,所以,解得.
故选：C.
5．答案：B
解析：平面ABC,平面ABC,,
又,,平面PAB,又平面ABP,,
又,,平面PBC,又平面PBC,,
又,,平面ANS,又平面PBC,平面平面PBC,A正确
由上述分析可知：平面PAB,而平面,所以平面平面PBC,故C选项正确.
由上述分析可知：平面ABC,平面PAC,所以平面平面PAC,故D选项正确.
从而可知B选项错误.
故选：B
6．答案：D
解析：设双曲线方程为,
如图所示,,,过点M作轴,
垂足为N,在中,,,故点M的坐标为,
代入双曲线方程得,即,所以,
故选：D.
7．答案：D
解析：的展开式中的系数是
因为且,所以,
所以,
以此类推,.
故选：D.
8．答案：B
解析：先排A,B两道程序,其既不能放在最前,也不能放在最后,
则在第2,3,4道程序中选两个放A,B,共有种安排方法;
再排剩余的3道程序,共有种安排方法,
所以一共有种不同的顺序安排方法.
故选：B.
9．答案：BD
解析：A.函数在区间内,则函数单调递增;故A不正确,
B.函数在区间的导数为,
在区间上单调递增,B正确;
C.由图象知当时,函数取得极小值,但是函数没有取得极小值,故C错误,
D.时,,
当时,,为增函数,,
此时此时函数为减函数,
则函数内有极大值,是极大值点;故D正确,
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：A.零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;
B.由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;
C.因为,都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即与反向共线时才成立,故C正确;
D.由向量相等的定义知D正确;
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：由饼状图知,成绩前200名的200人中,高一人数比高二人数多,A正确;
由条形图知高一学生在前200名中,前100和后100人数相等,因此成绩第名的100人中,高一人数为,B正确;
成绩第名的50人中,高一人数为,故高三最多有32,C正确;
成绩第名的50人中,高一人数为,故高二最多有23人,因此高二人数比高一少,D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：因为命题“,是假命题”,
所以,,
所以,,.
故答案为：.
13．答案：
解析：由,
则,
由函数有极值,
即有变号零点,
即,
解得或,
故答案为：.
14．答案：30
解析：设等差数列的公差为d,则,,
所以,
对称轴为,开口向下,
所以当或时,最大,最大值为.
故答案为：30.
15．答案：(1);
(2)2.6.
解析：因为,
所以.
(1);
(2),
,
,
,
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为三个力平衡,所以,
则,
,
故的大小为.
(2)设与的夹角为,
则,
即,
解得,因为,
所以.
17．答案：(1)
(2)1809
解析：(1)由,则,两式相减得：,
整理得：,即时,,
所以时, ,
又时,,得,也满足上式.
故.
(2)由.所以,
又,所以前40项中有34项来自.
故
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)在四棱锥中,
底面ABCD,平面ABCD, ,
,且,
平面PAC.
而平面PAC,.
(2)由,,得,
又,所以.
E是PC的中点,.
由(1)知,且,
平面PCD.
而平面PCD,.
底面ABCD,平面ABCD,.
又,且,
平面PAD,而平面PAD,.
又,平面ABE.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)设动点P的坐标为,
因为,,且,
所以,
整理得,
所以动点P的轨迹C的方程为;
(2)设点Q的坐标为,点A坐标为,
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,
所以,即,
解得,又点A在轨迹C运动,
由(1)有：,
化简得：,
即Q的轨迹方程：.