2023~2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，故A正确；
若，故B错误；
若，故C错误；
若，故D错误.
故选：A.
2. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】①错误，中包括0；
②错误，中没有任何元素；
③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号；
由③可知，④正确；
⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素；
⑥正确，有理数中包括整数.
故选：B.
3. 命题“任意，都有”的否定为（ ）
A. 存，使得
B. 不存在，使得
C. 存在，使得
D. 对任意，都有
【答案】A
【解析】命题“任意，都有”的否定为“存在，使得”.
故选：A.
4. 方程的解所在区间是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，
，，
∴，
∵函数的图象是连续的，∴函数的零点所在的区间是.
故选：C.
5. 华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，
又和在纵轴右侧均先递增，而和在纵轴右侧均先递减，
由复合函数的单调性可排除B、C；
若，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象不符，
故D错误；
而，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象相符，
故A正确.
故选：A.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
，所以．
故选：A.
7. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，，
所以
．
故选：C．
8. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，由于是定义在上的奇函数，
所以，所以是定义在上的偶函数.
任取，，则：
，，
所以在上递增，则在上递减.
，，
对于不等式，
当时，有，即；
当时，由，即，
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 幂函数的图象都过点
B. 函数与是同一函数
C. 函数与的图象关于直线对称
D. ，是以为周期的函数
【答案】AC
【解析】对于A，易知幂函数，显然恒过定点，故A正确；
对于B，由可知，即其定义域为，而的定义域为R，
所以两函数定义域不同，故B错误；
对于C，由反函数的定义易知函数与互为反函数，
故其函数图象关于直线对称，故C正确；
对于D，根据周期性定义知对于定义域内，，
不满足周期性定义，故D错误.
故选：AC.
10. 记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 也是的函数
C. D. 不是周期函数
【答案】AD
【解析】由题可得，，则不是的子集，
所以C不正确；
无理数小数点后第4位上的数为2，故，A正确；
当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故B不正确；
由于为无理数，所以不是周期函数，故D正确.
故选：AD.
11. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 图象的对称轴过图象的对称中心
C. 在上，与都单调递减
D. 和图象的交点为
【答案】AB
【解析】由的图象与的图象关于y轴对称可知=，
又根据题意可知，
整理得，即，
显然不能恒为零，所以，故A正确；
即，
令，所以，
即图象的对称轴为过图象的对称中心为，故B正确；
当，此时单调递增，显然C错误；
由，
即，此时，故D错误.
故选：AB.
12. 设函数的定义域为R，且，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 为奇函数
C.
D. 函数有11个不同的零点
【答案】BC
【解析】因为，，
所以的图象关于轴对称，且关于中心对称，
且，
即，
所以的一个正周期为，
因为当时，，则，
所以由题意可知：，故A错误；
同理，
所以为奇函数，故B正确；
易知，
，
，
所以，
故，故C正确；
函数的零点等价于与的交点个数，
作出函数图象如下：
如图所示，，当时，与无交点，
同理时，与无交点，
即两函数交点在上，易知共有10个交点，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.
【答案】
【解析】设该扇形的弧长为，由扇形的面积，可得，
解得.
14. 设，，定义运算，则函数的最大值是______.
【答案】
【解析】当时，，
由
，
所以；
当时，，
由
，
此时函数无最大值，
综上所述：函数的最大值是.
15. 随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y（单位：万元）随粉丝量x（单位：万人）的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型进行拟合，建立y关于x的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为17万人时，线下销售健身卡的利润大约为______万元．
【答案】
【解析】根据题意及表格有，作差得，
即，则，
所以，
则时，.
16. 已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________.
【答案】
【解析】满足，
，即，，
在上单调，，即，
当时最大，最大值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设函数的定义域为集合的定义域为集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）由，解得或，所以，
所以．
当时，由，得，即，
解得，所以．
所以．
（2）由（1）知，．
由，得，即，
解得，所以．
因为“”是“”的必要条件，所以．
所以，解得．
所以实数的取值范围是．
18. （1）计算：；
（2）当时，求关于x的不等式的解集．
解：（1）由
.
（2）由，即，
若，则，
若，则，所以，
若，则，所以，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将绕点O按逆时针方向旋转角后，终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为，点B的横坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求值．
解：（1）由题意及三角函数定义可知，，所以，
由诱导公式可知.
（2）由（1）及二倍角公式可知
，
又，所以，故（负值舍去）.
（3）由题意可知，为第二象限角，
所以，
所以
，
因为，为第二象限角，，
则为第二象限角，即，
所以
20. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?
解：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数4200人.
（2），
①当时，，当且仅当时等号成立；
②当时，；
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
21. 如图，在扇形中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为．
（1）求；
（2）求的最大值及此时x的值；
（3）若，求x的取值范围．
解：（1）根据题意可知，
所以，
整理得
.
（2）由（1）知，
所以，显然时，，此时.
（3）由（1）（2）知，
且，
所以，
即不等式的解集为.
22. 已知，函数，．
（1）若，，求；
（2）若，，求m；
（3）若，，求证：．
解：（1）若，，
则依题意，
所以.
（2）若，，则，
，
所以.
（3）若，，则，
，
所以，
设，则，
易知，设，显然在R上单调递增，
又，即恰有一个根，
故，得证.x（万人）
3
5
9
y（万元）