江苏省常州市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份江苏省常州市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
数学
2025年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数，则（ ）
A. 2B. 0C. 2iD.
4. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
5. 若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A. B. 2C. 2或0D. 0
6. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
7. 已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A. B. C. πD.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在四棱柱中，，，为底面的中心，则（ ）
A B.
C D.
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若在上的值域为，则的取值范围是
B. 若在上恰有一条对称轴，则的取值范围是
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若在上有且只有两个不同的零点，则的取值范围是
11. 某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（ ）
表1 甲每股收益的分布列
表2 乙每股收益的分布列
A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小）
C. 此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元
D. 此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式______．
13. 已知的展开式中项的系数为30，则______．
14. 中，点满足，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
16. 某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响．
（1）经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率．
17. 已知数列满足．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，求的值．
18. 平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求，的方程；
（2）点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由．
19. 已知函数．
（1）若在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）若恒成立，求证：．
常州市2024—2025学年第一学期高三期末质量调研
数学
2025年1月
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B
2. A
3. B
4. C
5. D
6. C
7. D
8. A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. AD
10. ACD
11. BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. （答案不唯一）
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）因为为直棱柱，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为中点，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，
又平面的法向量，
记二面角为，则，
则，
即二面角的正弦值为．
16.（1）随机变量的可能取值为，
，
，
，
；
（2）经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况有：
A班3轮每一轮得分都高于B班；A班有2轮得分高于B班，
A班有1轮得分高于B班，另两场都是0分，
所以所求概率．
17.（1）由①，
当时，②，
①②则，又满足上式，
所以．
（2）由（1），知，则，故，
所以，且，
若为偶数，，则；
若为奇数，，则；
故，
解得或．
18.（1）因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，
所以椭圆的焦点在轴上，又因为椭圆离心率为，
所以，解得，
所以椭圆，右焦点为1,0，所以，，
所以抛物线；
（2）
由题可设，
当时，由得，，
所以点处切线的斜率为，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，
因为，在椭圆上，所以，
两式作差得，即，
所以直线的方程为，
令，解得，所以，
所以点在定直线上运动.
19.（1）由题设，当时f'x0，即hx在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符；
当时，时h'x>0，时h'x