2025高考数学二轮复习-专题1 函数与导数 第4讲 利用导数研究不等式【课件】

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1.(人A选必二5.3节习题改编)证明下列不等式:(1)ex>1+x,x≠0;(2)ln x0时,f'(x)>0,函数f(x)=ex-1-x在区间(0,+∞)上单调递增;当x0,f(x)在区间(0,1)内单调递增;当x>1时,f'(x)0时,f(x)=ln x-x≤f(1)=-10时,ln x0时,ex>x+1>x.综上,ln x0.
证明 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),则有f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).故只需证明当m=2时,f(x)>0.
又f'(-1)0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
综上,当m≤2时,f(x)>0.
3.(人B选必三第六章习题)已知函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1时,h'(x)0时,f(x)>2ln a+ .
(1)解 f'(x)=aex-1,x∈R.①当a≤0时,f'(x)≤0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln =-ln a.随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表:
所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).
考点一 利用导数证明不等式
例1(2024·全国甲,文20)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a≤2时,证明:当x>1时,f(x)1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+ln x+1,x>0.h'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,则h'(x)>h'(1)=0,即h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故g'(x)>g'(1)=0,即g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0,即当x>1时,f(x)0.令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x0恒成立,此时f(x)单调递增,f(x)无极值;当m>0时,令f'(x)=0,得x=m.故当x∈(0,m)时,f'(x)0且a≠1.①若f(x)是偶函数,求a的值;②当x>0时,f(x)>0,求a的取值范围.
因为函数y=axln a,y=2xln 2在(0,+∞)上都是增函数,所以函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增,又f'(0)=ln(2a)0,使得当x∈(0,x0)时,f'(x)