江苏省无锡市三校联谊2025届高三上学期12月联合调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省无锡市三校联谊2025届高三上学期12月联合调研数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设，
若“，互为共轭复数”，则，故，
故“为实数”成立，
若“为实数”，取，则为实数成立，
但，不互为共轭复数，
故“，互为共轭复数”是“为实数”的充分不必要条件，
故选：A.
2. 已知集合，且，则集合可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
A中集合不合题意，B中集合为或，也不合题意，
C中集合为，不合题意，D中集合为，满足题意．
故选：D．
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得，即.
已知，即 ，
将代入可得：
，即，
解得.所以.
根据，可得：.
故选：B.
4. 已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
且在上的投影向量为，
所以，所以，
故选：A.
5. 已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（ ）
A. 10B. 20C. 25D. 50
【答案】D
【解析】∵，
∴，由已知，得，
∴，当且仅当时等号成立．
此时数列为常数列5，所以，
故选：D
6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A. 2B. 0或C. 0或2D.
【答案】B
【解析】设直线与曲线的切点为，
由，则，
则，即切点为，所以直线为，
又直线与圆都相切，则有，解得或．
故选：B
7. 已知椭圆，为椭圆上任意一点，过点分别作与直线和平行的直线，分别交、交于、两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设过点分别与直线、平行的直线为、，如图：
设、、Px0,y0，则，，
显然四边形为平行四边形，故的中点与的中点重合，
则，即，
又因为椭圆上任意一点，所以，即，
即，
而，所以当时，.
故选：A.
8. 已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设外接球的半径为，则，解得.
设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形的外接圆的半径为，
故三棱柱的高为，
所以该正三棱柱的体积，
由，解得，
令，则，
∴函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数在时取得最大值，因为，
所以该正三棱柱的体积的最大值为.
故选：C
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，，，，故A正确，B错误；
所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确；
，故D错误.
故选：AC
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个极值点B. 的图象关于对称
C. 有三个零点D. 是的一个零点
【答案】ACD
【解析】对于B选项，函数的定义域为，，
所以，，故函数的图象关于对称，故B错误；
对于函数，求导可得：，
对于ACD选项，令，解得，可得下表：
则，，
所以，函数有两个极值点，故A正确，
作出函数图象如下图所示：
由图可知，函数有三个零点，故C正确，
，故D正确.
故选：ACD.
11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为
B.
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域面积不大于
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，
即，故A错误；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，
代入可得，
由图象的对称性，可得、，故，即B正确；
对于C，
设直线与抛物线相切，联立可得，
由可得，且方程即为，
解得，，此时，切点坐标为，
设直线与抛物线相切，联立可得，
由可得，此时方程即为，
解得，，此时，切点坐标为2,1，
两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线垂直，
故当、时，取最大值，
且其最大值为，C对；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为，
所以，抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，
所以，半个花瓣的面积必小于，
故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________．
【答案】2
【解析】为偶函数，
所以，，得，，
当x∈0,π时，，在区间内仅有两个零点，
所以，解得：，所以.
故答案为：2
13. 已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】因为、分别为双曲线的左右焦点，
过的直线与双曲线左支交于A，B两点，
且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得，
设，则，
在中，由勾股定理得，解得，
则，
在中，由勾股定理得，化简得，，
所以的离心率.
故答案为：
14. 在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】由，则由正弦定理可得，，
所以或，而，且，即，
所以，且，即，
，
令，则，
所以，
当时，，则在上递增；
当时，，则在上递减；
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 设数列是首项为的等比数列，已知、、成等差数列，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记和分别为数列和的前项和，试比较与的大小.
解：（1）因为是首项为的等比数列且、、成等差数列，
设的公比为，由，可得，
解得：或（舍去）.
故，.
（2）由（1）可得.
数列的前项和，①
则.②
由①②得，
即.
由，可得.
16. 如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为，
（1）求的值．
（2）若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.
解：（1）设Ax1,y1,Bx2,y2，
因为交于点，点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，消去可得，，
则，
因为，所以，
即，即，解得，
（2）设线段的中点为，
由（1）知，所以，
所以，即，
联立，消去可得，，
设，则，
所以，
又点到直线的距离为，
所以的面积为.
17. 已知三棱锥中，平面平面，平面．
（1）求证：
（2）若二面角的正弦值为，且，，求．
（1）证明：过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以，又平面，平面，
所以，因为平面，且
所以平面，平面，
因此．
（2）解：方法一：过作于，连接，
则平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
所以，，
又有（1）可得，
设，则，
所以，
所以，
从而；
方法二：同方法一得，，
设，则，
所以，解得，
从而；
方法三：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
记二面角为，设，由法一可知，
，，
，
设面的法向量为，则，
即，令，得，
又面的法向量为，
记二面角为，则，
所以，
解得，则，
所以.
方法四：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
，设，有， ，
设面的法向量为，有，即，
令，得，
又面的法向量为，
记二面角为，则，则，
所以，
解得，
又，即，
所以，则.
18. 在中，角、、的对边是、、，已知，为常数．
（1）若，，求面积的最大值；
（2）若，，求的值．
解：（1）方法一：当时，，
由余弦定理得，所以，
，
设，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
方法二：时，，即
以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
则、，设，
由得，化简得，
即的轨迹方程为，
所以面积的最大值为.
（2）方法一：由及正弦定理可知，
由及，
得
，
整理可得，解得或（舍），
故.
方法二：不妨设，则.
由可得，
所以
，
解得，所以，
因此.
方法三：不妨设，则，即，.
以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
显然有、，
所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆方程为，则，，，
故椭圆方程为，即点在椭圆上.
设，其中，
则
，，
，，
因为，
，，
，
由可得，
化简即得，从而.
故，
从而.
19. 已知直线与轴交于点，与曲线交于两点（其中在第一象限，在第二象限）．
（1）若，试比较与的大小；
（2）①若点恰好为的中点，证明：；
②设，若，证明．
（1）解：由，得到，设，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以的最小值为，
又，，
由零点存在定理知，因此
（2）证明：①因为点恰好为的中点，所以，且，
由，得，
要证，只要证，
只要证，
设，则，
所以在上单调递增，所以，命题得证，
②由，得，
因为，即，所以有，
所以，
即（***）
要证
只要证，
只要证，
结合（***）式
只要证
只要证
只要证，
设
只要证
因为，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
由，即得，从而命题得证．极大值
极小值