新疆维吾尔自治区2025届高三上学期12月大联考（新课标卷)数学试卷（解析版）

这是一份新疆维吾尔自治区2025届高三上学期12月大联考（新课标卷)数学试卷（解析版），共15页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将代入中，可知成立，不成立，
．
故选：D．
2. 已知函数满足，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故，
故选：B
3. 已知平面向量，满足，，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由可得，故，
又，故，故，
故选：C
4. 苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，知该圆锥底面圆的半径为，设该圆锥的母线长为，高为.
由，得，，所以该圆锥的体积.
故选：A.
5. 已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】为偶函数，
故，故，
由于，故，则，
令,
解得，
故的一个单调递增区间为，
由于区间关于原点对称，要使在区间上不单调，故，
故选：A
6. 物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比．若容器的容积为V，容器内某种气体的初始压强为，真空泵每次抽出该气体的体积为，n次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为，则．若，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的压强低于初始压强的，则最少需要抽气的次数为（参考数据：）（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为，，所以，
所以，即得，
要使，即得，
即得 .
所以.
故选：C.
7 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于，，故，
由，可得
由可得，
则，
故选：D
8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】任取，，且，设，，
由，得，
即，所以，
所以在上为减函数，
记，则，
记，所以，
所以在上单调递增且，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
所以恒成立，所以，即.
故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于A，，故，A错误，
对于B，，故，B正确，
对于C, ，
解得，故C错误，
对于D，由，则，故，D正确，
故选：BD
10. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则点P的轨迹长度为
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A,当时，为的中点，则,
故，A正确，
对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，
对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，
对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，
故选：ABD
11. 如图所示的多面体中，为矩形，平面，且，，点为的重心，设，则下列说法正确的是（ ）
A. 该多面体的体积为
B. 存在，使得平面
C. 若，则四点共面
D. 若点在该多面体外接球的球面上，则
【答案】ACD
【解析】将该多面体补成长方体，如图所示：
对于A，故该多面体的体积为，A正确，
对于B，由于为的重心，
故，
，
显然不垂直，故，
因此，故不垂直，
因此不存在，使得平面，B错误，
对于C，建立如图所示的空间之间坐标系，
则，
则，由于，故是的中点，故，
故，
故，因此共面，进而可得共面，C正确，
对于D，，
该多面体的外接球与长方体的外接球相同，
故球的直径为长方体对角线，
而，故，
故位于，故，，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】由题意，，即，解得，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值为1.
故答案为：1
13. 某密码锁的密码由三位不重复的数字组成，请根据下面三张图片提供的信息，判断这个密码锁的解码为______．
【答案】698
【解析】假设第一个图片中的3号码正确，且位置正确，
则第二图片中的3也满足号码正确，且位置正确，不合要求，
假设第一个图片中的1号码正确，且位置正确，
则从第三个图片可知，剩余的2个号码为8和3，且位置要互换，
故密码锁的解码为318，
但此时第一个图片将有2个号码正确，不合要求，
假设第一个图片中的8正确，则从第三个图片可知，有1个号码为6，
从第二个图片可知，第三个号码为7或9，
若第三个号码为7，且密码锁的解码为678，此时第二个图片中7的位置正确，不合要求，
若第三个号码为9，且密码锁的解码为698，满足所有图片要求.
故答案为：698
14. 若关于x的方程有且仅有两个解，则实数a的值为______．
【答案】
【解析】由题意可知当，即时，方程为不成立，故可得，
则此方程可化为，令，，
则，
当时，，则，令，解得，
故当时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数，
故.
当时，，则在上恒成立，
故函数为增函数，
作出和函数图象如下：
故由图象可知当时，这两个函数的图象只有2个公共点.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求；
（2）若，，求．
解：（1），由余弦定理得，
故，将其代入中得，，
故；
（2），故，，
因为，所以①，
由余弦定理得，又，
所以，
，由余弦定理得，
故②，
联立①②得③，
又，故，将其代入中
得④，
联立③④得，
解得，解得，负值舍去
16. 已知数列的前n项和为S，且，．数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式及．
解：（1）因为，所以，
当时，，所以，
当时，，
作差得，
所以，
所以，
所以.
（2）当时，因为，
所以，，
所以累加法得出，
所以，所以，
当时，，所以，
所以，
所以.
17. 已知函数．
（1）若，求证：；
（2）若且在上恒成立，求t的最大值．
（1）证明：的定义域为0,+∞，
当时，，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以.
（2）解：令，则gx