2024-2025学年青海省西宁市高二上学期第二次月考数学阶段检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市高二上学期第二次月考数学阶段检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 设，向量，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 8
【正确答案】B
解析：因为，所以，解得，
由可知，，解得，所以.
故选：B.
2. 正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：设,因四面体体积为，所以，解得,
以分别为轴，建立空间直角坐标系，则,
所以，
设平面的法向量为,
所以，即，
令，则，所以,
设与平面所成角为，
.
故选：C.
3. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
解析：因为圆经过点，
将点代入圆的方程可得.即，所以，
则圆的方程为.
对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.
根据斜率公式，这里，，则.
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.
已知，所以切线的斜率.
又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），
可得切线方程为.整理得.
故选：A.
4. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
解析：设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
5. 如图，在平行六面体中，，
与的交点为，设，则错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
解析：利用三角形法则，故A正确，B错误；
对于选项C：
，
所以，故选项C正确,
，
，所以选项D正确.
故选：
6. 已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
【正确答案】B
解析：因为直线与直线平行，
所以，解得或1，经检验均满足题意，
所以实数的所有取值之和为.
故选：B
7. 直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ）
A. B. 3C. D.
【正确答案】C
解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设，则，
由，得，则，
由，得，得，
联立解得，，所以.
故选：C
8. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个.

①椭圆的长轴长为
②线段长度的取值范围是
③的面积最小值是
④的周长恒为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】C
解析：由题意，椭圆中几何量，所以，则，
故①正确；
因为，由椭圆性质可知，
所以，故②正确；
设，则
，取，
则，故③错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，故④正确，故答案为①②④.
故选：C.

二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部
B. 直线被圆所截得的最长弦长为
C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有
D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为
【正确答案】AD
解析：对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确；
对于B项，直线恒过定点，，
点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错；
对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交，
，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误；
对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上，
又，故切线的斜率为，
所以切线方程为，即，故D项正确.
故选：AD.
10. 已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（ ）
A. 周长的最小值为
B. 若，则最小值为4
C. 若直线过点F，则直线的斜率之积恒为
D. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
【正确答案】BD
解析：因为F到准线的距离为2，所以，所以抛物线，，，准线，
对于A，过作，垂足为，则，
所以周长的最小值为，故A不正确；
对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，则，即最小值为4，故B正确；
对于C，若直线过点F，设直线，
联立，消去得，
设、，则，，
所以，故C不正确；
对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，
因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，
所以该圆面积为，故D正确.
故选：BD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ）
A. 平面
B. 若为上的动点，则的最小值为
C. 点到直线的距离为
D. 平面与平交
【正确答案】BD
解析：A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
所以，
故与平面不平行，A错误；
B选项，把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图，
连接与相交于点，此时最小，
最小值，B正确；
C选项，，，，
，
点到直线的距离为，C错误；
D选项，，所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
显然与不平行，故平面与平面不平行，
又两平面不重合，故两平交，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为______.
【正确答案】##
解析：如图建立以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，
，且设，
则，，，，，
则，，.
因为异面直线与所成角为，
所以，
因为异面直线与所成角为，
所以，
所以可得，，所以，，
设平面法向量为，则，
令，则
因为，，
则点到平面距离.
故答案为.
13. 已知直线过点，直线过点，若直线，则______．
【正确答案】
解析：由题得，即，解得．
故
14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________.
【正确答案】
解析：设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为，
由于圆的半径为，则，
且为的中位线，可得，
又，所以，即有，
在直角三角形中，因为，所以，
则，可得，所以，
由双曲线的定义可得，即，所以，
由，则，所以双曲线C的离心率为.
故．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求过两点和，且圆心在轴上圆的标准方程.
【正确答案】
解析：设所求圆的标准方程为：，
依题意得，即，
解得，
所以所求圆的标准方程为.
16. 已知抛物线：的焦点为．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长．
【正确答案】（1）焦点为，准线.
（2）
【小问1解析】
由抛物线方程可得，，
所以焦点为，准线.
【小问2解析】
设，
根据对称性，不妨设在轴上方，则在轴下方，
根据抛物线的定义可知，，所以，
将代入可得或（舍），
所以，
所以,
所以直线的直线方程为，即，
联立，消去可得，，
根据韦达定理可得，，
所以，
所以.

17. 求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
【正确答案】或
解析：把方程写成，
则其焦距，所以，
又，所以，
，
故所求椭圆的方程为，或.
18. 已知直线，直线．
（1）若，求，之间的距离；
（2）若，求，及轴围成的三角形的面积．
【正确答案】（1）
（2）．
【小问1解析】
因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意．故，
则，之间距离为．
【小问2解析】
因为，所以，解得．
，的方程分别为，．
联立方程组，得．
因为，与轴的交点分别为，，
所以，及轴围成的三角形的面积为．
19. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1解析】
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则,
，，
设平面的一个法向量为，
则 ，取，得，
因为，所以平面；
【小问2解析】
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．