【备战2025年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题训练31 与物理化学等学科渗透的数学问题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. （2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．
【详解】如图：
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，
∴，，
∴，
则，
∵光线是平行的，
即，
∴，
故选：B．
2. （2024四川南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果．
∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故选C．
3. （2024四川达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解．
依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
4. （2024重庆市A）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
5. （2024重庆市A）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】B
【解析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B．
6. （2024四川内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光，
画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：A．
7. （2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A. 当时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【解析】本题考查了函数图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
二、填空题
1. （2024四川广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒．
【答案】
【解析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】根据题意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案为：．
2. （2024湖北省）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为______．
【答案】79
【解析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解．
∵铁的质量与体积成正比例，
∴m关于V的函数解析式为，
当时，，
故答案为：79．
3. （2024湖南省）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________．
【答案】180
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可．
【详解】把，代入，得，
解得，
故答案为：180．
4. （2024江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
5. （2024江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
【答案】
【解析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
6. （2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
三、解答题
1. （2024吉林省）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
2. （2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
3. （2024安徽省）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于，则，，由题意可得，，，，
解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点于，则，，由题意可得，，，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴在，，
∴，
∴．
4.（2024四川广元） 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
【答案】（1）； （2）．
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
（1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解；
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解．
【小问1详解】
∵，
∴如图，
设，则，由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
【小问2详解】
根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．