北师大版（2024）九年级下册6 利用三角函数测高同步训练题

这是一份北师大版（2024）九年级下册6 利用三角函数测高同步训练题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2B．118.4C．119.6D．121.2
2．已知在△中，，，那么边的长等于（ ）
A．；B．；C．；D．；
3．在A处观察B处时的仰角为，那么在B处观察A处时的俯角为（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米B．10米C．20米D．米
5．铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，上底宽是3米，路基高为4米，则路基的下底宽为（ ）
A．15米B．12米C．9米D．7米
6．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉一条幅到地面，这就需要测量学校图书馆的高度．如图，林老师用高的测量仪测得顶端A的仰角为，同学小军在林老师的前面处用高的测量仪测得顶端A的抑角为，则图书馆的高度为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
7．如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（ ）
A．B．C．D．
8．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（ ）
A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（2）（1）
C．（4）（2）（3）（1）D．（3）（4）（2）（1）
9．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为，那么这时飞机与目标A的距离为（ ）千米．
A．B．C．D．
10．如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（ ）
A．10tana米B．米C．10sin米D．米
11．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为米，下底为10米，高为米，则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（ ）
A．，B．，C．3，D．3，
12．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升到达A处，在A处观察C地的俯角为，则BC两地之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，河对岸有古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔走s米到达D，在D处测得塔顶A的仰角为β，则塔高是 米．
14．“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号）
15．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图，无人机在处测得正前方河流的点处的俯角，点处的俯角，点，，在同一条水平直线上．若，，则河流的宽度为 ．
16．在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成
17．如图，在离地面高度为的处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角，则拉线的长为 （用的三角函数值表示）．
三、解答题
18．如图，晚上小明站在路灯P的底下观察自己的影子时发现，当他站在F点的位置时，在地面上的影子为BF，小明向前走2米到D点时，在地面上的影子为AD，若AB=4米，∠PBF=60°，∠PAB=30°，通过计算，求出小明的身高．（结果保留根号）．
19．某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题．
20．2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东方向，求中餐台C到就餐区D（即）的距离．（结果保留整数）（参考数值：，，，，，．）
21．如图，，，，，分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在，之间修了一座桥．，在的正东方向，在的正南方向，且在的南偏西60°方向，在的北偏东45°方向，且在的北偏西30°方向，米，米．（参考数据：，，）
(1)求的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两人从拍照点出发去拍照点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
22．为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度．（参考数据：，，）
(1)求斜坡CD的高；
(2)求古树的高AB．（结果保留一位小数）
23．如图1，是H市人工天鹅湖畔的一尊雕塑A，雕塑A及另三个雕塑B、C、D的在湖岸边的平面分布如图2，某班综合实践小组分别在雕塑A、B两处设置观测点．在A处测得：雕塑B在西北方向，雕塑C在正北，雕塑D在北60°东；在B处测得：雕塑C在东北方向，雕塑D在正东．
（1）求证：AB=CB，AD=CD；
（2）已知AB=800米，求B、D之间的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45）
24．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E．
（1）若AB=AD+2BE，求证：BC=DC；
（2）若∠B=60°，AC=7，AD=6，，求AB的长．
活动课题
测量两幢教学楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
①如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪；
②利用测角仪测出楼顶A的仰角，楼顶B的仰角；
③利用皮尺测出米，米．
测量图示
解决问题
根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离
备注说明
其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内
参考数据
《1.6利用三角函数测高》参考答案
1．C
【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】解：如图，由题意得：

在中，


在中，
设 则



经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
2．B
【详解】试题分析：过点A作ADBC 于点D,因为，所以BD=,在中，csB= ,所以BC=2BD=2AbcsB=，故选B.
考点：1.等腰三角形的性质；2.锐角三角比.
3．A
【分析】本题主要考查仰角和俯角及平行线的性质，理解题意，作出相应的图形是解题关键．
根据题意作出图形，然后找出相应的仰角和俯角，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，
∵，
∴，
∴在B点处观察A点的俯角为，
故选A．
4．A
【详解】试题分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°
∴BD==AB
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC==AB
∵CD=20
∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20
解得：AB=10．
故选A．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
5．A
【详解】试题分析：可过上底的两个端点，分别作下底的垂线，根据腰的坡度和梯形的高求出下底的长．
解：如图．等腰梯形ABCD是铁路路基的横断面，腰AB、CD的坡度为2：3，BC=3米，BE=CF=4米．
Rt△ABE中，tanA=，BE=4米，
∴AE=BE÷tanA=6（米）．
∴DF=AE=6（米）．
∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=6+3+6=15（米）．
故选A．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
6．A
【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形实际应用．根据题意可得，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数定义求出的长，继而列出方程，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，，，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴图书馆的高度为，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长．
【详解】解：过点D作于F，
由题意知：，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.
【详解】解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；
故选择：C.
【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．
9．A
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，画出图形，利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：由题意，为飞机离水平地面的高度，为飞机与目标A的距离，画图如下：
则：，，，
在中，；
故选A．
10．A
【详解】试题分析：根据题意得：tan∠A=，则BC=AC·tan∠A=10tanα.
考点：锐角三角函数的计算.
11．D
【分析】过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，那么ADEF平行四边形，所以BE=（BC-AD），而AE已知，所以坡度和坡角就可以解出．
【详解】解：如图，
过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC．
∵ABCD为等腰梯形，
∴BE=（BC-AD）=2．
∴坡度==
∴坡角=∠B=60°
故选D．
【点睛】此题考查了学生对等腰梯形的性质，坡度坡角的计算等知识点的掌握情况．
12．A
【详解】试题分析：根据三角函数可得：tan∠C==tan30°=，则BC=100m．
考点：三角函数的应用
13．
【详解】根据题意可得,在Rt△ABC中,BC=在Rt△ABD中,BD=,
所以=s,
所以
所以
故答案为:
14．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：延长交于F，则，作于H，
∵坡度为的斜坡，
∴设，则，
∴，即，
解得，
∴，，
在中，，
则，
在中，，
∴，
由题意得，，
解得，，
则，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键，
在中，利用可得，然后在等腰直角三角形中，利用即可求解；
【详解】解：依题意，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
故答案为：
16．（7，-7）
【详解】试题分析：过点A作AC⊥x轴于C，
在Rt△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米， 则AC=7千米，OC=73千米，
因而小岛A所在位置的坐标是（73，-7）．
17．
【分析】运用三角函数定义求解．
【详解】解：在直角△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=α，CD=5．
∵sin∠CAD=，
∴AC=．
故答案为 ．
【点睛】本题中关键是把实际问题转化为数学问题，然后利用正弦的定义加以解决．
18．米
【详解】试题分析：设CD=EF=x，根据Rt△CAD，求出AD与x的关系，根据Rt△BEF，求出BF与x的关系，然后根据BD=DF－BF=2－BF，AB=AD+BD=4求出x的值．
试题解析：设小明的身高为x米，则CD=EF=x米．
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，tan∠CAD=，即tan30°=，AD=x
在Rt△BEF中，∠BFE=90°，tan∠EBF=EF/BF，即tan60°=，BF=
由题意得DF=2，∴BD=DF-BF=2-，∵AB=AD+BD=4，∴x+2-=4 解得：x=．
答：小明的身高为米．
考点：锐角三角函数的应用．
19．两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米
【分析】过点B作于M，由正切三角函数可求出相应边的长度，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作，垂足为M，如图：
由题意可知四边形和都是矩形，
米，米，米，
在中，米，
在中，米，米米米，
在中，（米），
∴两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米．
【点睛】本题考查了解直角三角的应用，勾股定理，能根据题意作出辅助线构造直角三角形求解是解题的关键．
20．357米
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，，从而可得四边形是矩形，进而可得米，，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了矩形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则，，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，（米），
（米），
米，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
中餐台到就餐区（即的距离为357米．
21．(1)米；
(2)甲选择的路线较近
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解；
（2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解．
【详解】（1）解：如图：作于，则，
由题意得：米，米，，，
∴在中，，，米，
∴米，米，
在中，，，
∴米，
∴米，
∴米，
∴的长度为米；
（2）解：在中，，，米，
∴米，
∴米，
在中，，，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
22．(1)米
(2)米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）过点作与点， 延长交于，根据斜坡CD的坡度可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出与的长，故可得出结论；
（2）由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论．
【详解】（1）解：过点作与点， 延长交于，
∵斜坡CD的坡度米，
∴设米， 则米，
在中，
，即，
解得x=6，
米， 米，
答：斜坡CD的高为米；
（2）解：，
∴四边形是矩形，
米，米，
米，米，
在中，
，
米，
米，
答： 古树的高AB约为米．
23．（1）AB=CB，AD=CD；
（2）BD之间的距离为1544米．
【详解】试题分析：（1）由方向角的定义可知BD⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∠CAD=60°，根据等角对等边可证明AB=BC，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证BD是AC的垂直平分线，从而得到CD=AD；
（2）在△AOB中依据特殊锐角三角函数值可求得OB和OA的长，然后在△OAD中依据特殊锐角三角函数值可得到OD的长，从而可求得BD的长．
试题解析：（1）设BD、AC交于点O．
∵由题意可知BD⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∠CAD=60°．
∴AB=BC．
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AO=OC．
∴BD是AC的垂直平分线．
∴DC=DA．
（2）在Rt△AOB中，AB=800，∠BAO=45°，
∴BO=AO=800×=400．
在Rt△AOD中，AO=400，∠DAO=60°，
∴DO=400．
∴DB=BO+DO=400+400≈1544（米）．
∴BD之间的距离为1544米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
24．(1)证明见解析；（2）8．
【详解】试题分析：：（1）在AB上取点F，使得EF=BE，然后根据已知条件可以推出△AFC≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据和AC=7，AD=6可以求出∠DAC的正弦值，而AC平分∠DAB，由此可以利用三角函数求出CE，再利用勾股定理即可求出AE、BE，最后求出AB．
试题解析：（1）证明：如图，在AB上取点F，使得EF=BE，
∵CE⊥AB，
∴FC=BC，
∵AB=AD+2BE，而AB=AF+2BE，
∴AD=AF．
在△AFC和△ADC中，
AD=AF，∠CAF=∠CAD，AC=AC，
∴△AFC≌△ADC．
∴DC=FC．
∴BC=DC．
（2）解：在△ADC中，∵S△ADC=×6×7sin∠DAC=，
∴sin∠DAC=，
而AC平分∠DAB．
∴．
∴CE=．
∴AE=．
∴BE=．
∴AB=AE+EB=8．
考点：1.解直角三角形；2.全等三角形的判定；3.勾股定理．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
A
A
C
C
A
A
题号
11
12








答案
D
A