中考数学二轮培优训练专题30 圆幂定理（2份，原卷版+解析版）

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相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角读数。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质与比例线段相关。
相交弦定理模型：如左图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P,则AP•DP=BP•CP
证明：如中图，连接AB、CD
在△APB和△CPD中
∠1=∠2（同弧所对圆周角相等） ∴△APB∽△CPD ∴ 则AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
【进阶】如右图，OP所在直线与⊙O交于M、N两点，r为⊙O的半径，则
AP•DP=BP•CP=MP•NP=(r-OP)( r+OP)=
割线定理模型：若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则AP•BP=CP•DP
?].’=
证明（方法一）：如中图，连接AC、BD
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180° ∴∠1=∠3
在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P ∴△APC∽△DPB ∴ 则AP•BP=CP•DP
证明（方法二）：如右图，连接AD、BC
在△PAD和△PCB中∠PAD=∠PCB（∠1=∠2），∠P=∠P ∴△PAD∽△PCB ∴ 则AP•BP=CP•DP
【进阶】若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PMN，
且割线PMN经过圆心，r为⊙O的半径，则
AP•BP =MP•NP=(OP-r)( OP+r)=-
弦切角定理模型：线段AB切⊙O于点B，线段BC、CD为⊙O的弦，则∠1=∠2=∠3
证明：连接OB、OD，则∠4=∠5
∵线段AB切⊙O于点B ∴∠1+∠4=90°
∵∠3+∠4+∠5=180° ∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2
∴∠2+∠4=90° ∴∠1=∠2 则∠1=∠2=∠3
切割线定理模型：如右图，线段ADC是⊙O的一条割线，AB是⊙O的一条切线，
切点为点B，则=AD•AC
证明：∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB ∴ 则=AD•AC
【能力培优练】
1．如图，切于点，是的一条割线，且，，那么的长为( )
A．2B．C．4D．2
2．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．
3．弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
4．圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？
下面是证明的开头：
已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C．
求证：PA2＝PB•PC
证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO，
因为PA切⊙0于点A，
∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．
阅读以上材料，完成下列问题：
(1)补充完成上面的证明过程；
(2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长．
5．在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果、、三个量成连比例即，则叫做和的比例中项）
(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，是圆外一点，是圆的切线，直线为圆的割线．
求证：
证明：
(2)已知，，则的长度是 ．
6．复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
阅读材料
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程
已知：如图2，A是⊙O外一点， ．
求证：
[提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE．
7．阅读下列材料，完成相应任务：
任务：
(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．
①与的位置关系是 ．
②求的长．
8．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系．
如图1，是外一点，切于点，交于点（即是的割线），则．
下面是切割线定理的证明过程：
证明：如图2，连接并延长，交于点，连接．
切于点，
．
．
是的直径，
……
(1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程；
(2)在图1中，已知，，则______，______．
9．读下面材料，并完成相应的任务
学习任务：
如图，若线段AB与相交于C，D两点，且，射线AB，BF为的两条切线，切点分别为E，F，连接CF．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
10．我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．
求证：．
证明一：连接、，
∵和为所对的圆周角，∴______．
又∵，∴______，∴______．
即．
研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接、，
11．如图，P是⊙O外一点，割线POB与⊙O相交于A、B，切线PC与⊙O相切于C，若PA=2，PC=3，求⊙0的半径．
12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：
证明：连接并延长交于C，连接，
∵是的切线，（依据________________________________)
∵是的直径，（依据_______________________________)

又∵（依据_____________________________________)
. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长．
13．阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦，相交于点P．
求证：．
证明：如图1，连接，．
∵，．
∴，（根据_____________）
∴，
∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径．
14．阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径．
15．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．
16．小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证：
(2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证；
【解决问题】
(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______
17．阅读与思考
阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明．
小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？
任务：
(1)请按照小华的思路，利用图2证明；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______°
18．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角，
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD．
求证：______．
证明：
(2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的长．
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则．
证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，
∴，即．
……
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．下面是不完整的证明过程，请补充完整．
已知：P为外一点，PA与交于A，B两点，PM与相切于点M．
求证：．
证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC．
∵PM为的切线，∴_______，∴，∵CM为的直径，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，的两弦相交于点P．
求证：．
证明：
如图1，连接．
∵，．
∴，（根据）
∴@，
∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．