中考数学二轮培优训练专题28 定弦定角（2份，原卷版+解析版）

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如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上（①∠APB90°，在线段AB对称的劣弧上运动），但不包括A、B两点。
定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆。
【练习】如图，已知AB=2，点C为动点，且∠ACB=30°、45°、60°，画点C的运动轨迹，求△ABC外接圆半径。
【提问】在△ABP中, ∠P=α,AB=2x.
1）求△ABP中AB边所对的高的最值。
2）求△ABP面积的最值。
【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然∠P的大小不变,但顶点P的位置可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在△ABP的外接圆的BC这段弦所对的圆弧上运动（不包括B,C两点）。当高线PD过圆心时有最大的高,即h≤OP1+OD.
思路：
作△ABP的外接圆圆O
∵∠AP1B=α ∴∠AOB=2α 而△AOD≌△BOD ∴∠AOD=∠BOD=α AD=BD=x
在Rt△AOD中，AO=DO= 又∵AO=OP1
PC≤P1D=OP1+OD==(1+cs) （当P与P1重合时等号成立）
S△ABP=PC•AB≤P1D•AB=(1+cs)=(1+cs)
【培优过关练】
1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点E．若，，则与长度之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
3．（2021秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
4．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，已知为等边三角形，，将边绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，点E为上一点，且．连接，则的最小值为 __________________．
5．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，是边长为6的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F，若点D在内，，则______；现将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是______．
．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则．
(1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数；
(2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)【问题拓展】
①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．
②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长．
7．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
(1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°．
(2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________．
【问题解决】
(3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
【实际应用】
(4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______．
8．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
9．（2023·陕西西安·校考二模）[发现]
如图（1），为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数 （填“变”或“不变”）；若，则 ．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某一个确定的圆上运动呢？
[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若，直线上方一点满足，为了画出点所在的圆，小明以为底边构造了一个等腰，再以为圆心，为半径画圆，则点在上．请根据小明的思路在图中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
[应用]
（1）如图（3），，平面内一点满足，则面积的最大值为 ．
（2）如图（4），已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，点是的内心．
① ；
②连接，若正方形的边长为2，求的最小值．
10．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）【问题提出】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
(1)若，平面内一点C满足，若点C所在圆的圆心为O，则__________，劣弧的长为__________．
(2)如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为4，求的最小值．
11．（2023春·广西南宁·九年级校考阶段练习）【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
12．（2023·吉林长春·校考二模）如图，在中，，，，点P在边上（点P与点C不重合），连结，过点C作射线于点Q．
(1)当点Q在内部时，求长的取值范围．
(2)连结，则长的最小值为 ．
(3)当是等腰三角形时，求的面积．
(4)当时，直接写出的长．
13．（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）在△中，，，为上一点．
(1)如图1，过作于，连接．若平分，，求的长；
(2)如图2，以为直角边，点为直角顶点，向右作等腰直角三角形△，将△绕点顺时针旋转，连接，取线段的中点，连接．猜想、的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，连接，将△沿翻折至△处，在上取点，连接，过点作交于点Q，交于点，连接，若，，当取得最小值时，求△的面积．
14．（2023·江苏苏州·统考一模）在边长为8的等边三角形中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接．
(1)如图1，点与点重合，且的延长线过点，证明：四边形是菱形；
(2)如图2，的延长线交于点，当时，求的度数；
(3)如图3，为的中点，连接为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．
15．（2023春·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，，其中EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF．
(1)如图1，①若时，求线段CF的长：
②当点E在线段BC上运动时，求证：．
(2)如图2，过点B作交EQ于点G，过点D作所在的直线于点H，求HG的最小值．
16．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）问题发现
（1）如图1，已知正方形，为边上一点（不与端点重合），以为一边作正方形，连接，，，若，则的面积为__________；
问题解决
（2）如图2，已知有一四边形场地，，，测得米，现在需要修建一块三角形区域为休闲区，其中为的中点，且于点，问三角形地块的面积能否取到最小值？若能，请求出这个最小值；若不能，试说明理由．