河南省新乡市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省新乡市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则( )
A.B.C.1D.2
2．函数的图像在点处的切线方程是( )
A.B.C.D.
3．为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）( )
A.127B.136C.133D.138
4．若函数，的定义域分别为A，B，且，则( )
A.0B.C.D.1
5．若直线与圆的两个交点为A，B，且，则( )
A.-11或-3B.-9或-5C.-11或-5D.-9或-3
6．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为( )
A.立方分米B.立方分米
C.7立方分米D.立方分米
8．当x，y，且x，y，z有且只有一个为0时，，则( )
A.既无最大值，也无最小值
B.的最大值为4，最小值为2
C.的最大值为4，无最小值
D.的最小值为2，无最大值
二、多项选择题
9．已知，则以下等式可能成立的有( )
A.B.C.D.
10．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，且l与C交于A，B两个不同的点（点A在x轴的上方），下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.点A，B的纵坐标之积与k有关
D.若（O为坐标原点），则
11．在四棱锥中，，，，动点平面，且，F是的中点，则( )
A.平面B.的长可能为3
C.D.点F在半径为的球面上
三、填空题
12．如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有种___________.
四、双空题
13．若椭圆的离心率为，则___________，___________.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积，则的最小值为___________，此时的周长为___________.
五、解答题
15．设函数.
(1)求的单调区间；
(2)比较与的大小；
(3)若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围
16．如图，在中，，，，将沿折起得到四棱锥，且平面平面.
(1)证明：四棱锥的高为.
(2)求直线与平面所成角的正弦值
17．某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分所有的题答错都不扣分已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响
(1)求甲同学初赛被淘汰的概率；
(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且.
(1)求C的渐近线方程
(2)点Q为C的左支上一点，且.A，B分别为C的左、右顶点，过点的直线交C的右支于E，F两点，其中点E在x轴上方，直线与交于点P.
①求直线的方程；
②证明：点P到直线的距离为定值
19．在平面直角坐标系中，O是坐标原点若点列中的3个相邻的点，，满足，则称关于x的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根已知，，点列的特征根为1和2，，
(1)求点，的坐标；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和d是已知的常数，求点列的特征根
参考答案
1．答案：A
解析：，
.
故选：A.
2．答案：D
解析：函数，
求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
3．答案：D
解析：该班共有人，
因为，
所以中位数在区间内，设为x，
则，
解得.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意，
因为，
所以，解得，
所以.
故选：A.
5．答案：B
解析：圆的圆心，半径，
由题意圆心到直线l的距离，
则，
解得或-9.
故选：B.
6．答案：B
解析：依题意，，
当时，，
由在区间上恰有5个零点，
得，解得.
故选：B
7．答案：D
解析：如图，在正三棱台中，
，，
将棱台补全为正三棱锥，
设O为底面的中心，
连接，则平面，
而平面，所以，
因为，所以，
，
所以，
则正三棱台的高，
该正三棱台的上底面面积，
下底面面积，
所以该正三棱台储物柜的储物容积
.
故选：D.
8．答案：A
解析：在中，
由x，y，z有且只有一个为0，
当时，则，
而，则，，
因此，即，
同理，
所以，既无最大值，也无最小值
故选：A
9．答案：BC
解析：对于A，当时，
，
所以不可能成立，故A错误；
对于B，由，得，
则，
则可能成立，故B正确；
对于C，取，，，
此时，，
则可能成立，故C正确；
对于D，由，得，
则，
则不可能成立，故D错误；
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：设，
对于A，若，则直线，
联立，
得，则，
所以，故A正确；
对于B，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为P，Q，
不妨设，则，，
则，故B正确；
对于C，易得直线l的斜率不为零，设，
联立，
得，则为定值，
所以点A，B的纵坐标之积与k无关，故C错误；
对于D，由，得，
即，
即，
由，
得，，
因为点A在x轴的上方，所以，
则，所以，
所以，故D正确
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A，取的中点G，连接，
则，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，设的中点为M，连接，，
由题意四边形为直角梯形，则，
因为，
所以点E在以M为球心，为半径的球面上运动（不过平面），
则，故B错误；
对于C，
，
因为，不共线，所以，
所以，故C正确；
对于D，设的中点为N，连接，
则，
所以点F在以N为球心，为半径的球面上运动，故D正确
故选：ACD.
12．答案：401
解析：如图，当路线经过点C时，从A到C有1种，从C到B有种；
当路线经过点D时，从A到D有种，从D到B有种；
当路线经过点E时，从A到E有种，从E到B有种；
当路线经过点F时，从A到F有种，从F到B有种；
当路线经过点G时，从A到G有种，从G到B有1种，
所以不同的走法共有
（种）.
故答案为：401
13．答案：；
解析：因为椭圆的离心率为，
所以，
所以，，
.
故答案为：；.
14．答案：8；
解析：由和正弦定理可得，
故,
，
，
故,
当且仅当，即，时取等号，
，故，
此时周长为，
故答案为：8，
15．答案：(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
(3)
解析：(1)，
当时，，当，，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
(2)因为，
所以；
(3)因为关于x的不等式的解集为R，
则只需要即可，
由(1)得，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)依题意，则，
因为，，
所以，
所以和都是边长为1的正三角形，
取的中点M，连接，
则，，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
所以即为四棱锥的高，
所以四棱锥的高为；
(2)如图所示，以点C为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
故，，
设平面的法向量为，
则有，
可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)若甲同学初赛不被淘汰，
则他答对中级编程题的数量至少为，
则甲同学初赛不被淘汰的概率为，
所以甲同学初赛被淘汰的概率为；
(2)由题意X可取70，80，90，100，110，120，130
则，
，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
故.
18．答案：(1)
(2)①；②证明见解析
解析：(1)由题意可知，
解得，则，
所以双曲线，
所以C的渐近线方程为；
(2)①设，则，
由余弦定理得，
即，
解得（负根舍去），
所以，
所以，则，
所以直线的方程为；
②易知直线的斜率不为零，
则可设直线的方程为，
设，
联立，
得，
恒成立，
则，
由题意得且，
所以，
则直线，
直线，
联立可得
，
解得，故动点P在直线上，
所以点P到直线的距离为，
所以点P到直线的距离为定值
19．答案：(1)，
(2)
(3)1和
解析：(1)因为点列的特征根为和，
所以点列的特征方程为，
所以，
则，
即，
所以，
所以的坐标为，
由，
得，即，
所以，
所以的坐标为；
(2)由(1)知，
，
所以；
(3)因为，
所以，
所以，
设，
则，
，
，
设，
则①，
②，
由①②得，即，
将代入②得，
因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数，
所以，
又，所以，得，
又，
所以点列的特征方程为，特征根为1和.
X
70
80
90
100
110
120
130
P