2025届高考物理二轮专题复习与测试模块一力与运动专题四万有引力定律的理解和应用

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1．通过建立天体运动的环绕模型，能够熟练分析天体的运动特点。 2.能够利用圆周运动知识分析天体变轨的原理和能量变化情况。 3.能够熟练分析“双星模型”问题。
命题点1 开普勒定律的理解和应用
1．(2024·山东卷，T5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( D )
A． eq \r(\f(r3,a3)) B． eq \r(\f(a3,r3))
C． eq \f(r3,a3) D． eq \f(a3,r3)
解析：“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有 eq \f(a3,T2) ＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有 eq \f(r3,T2) ＝k′，其中k、k′与中心天体质量成正比，则有 eq \f(M月,M地) ＝ eq \f(k,k′) ＝ eq \f(a3,r3) ，D正确。
命题点2 万有引力定律的理解和应用
2．(2024·安徽卷，T5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h，则鹊桥二号在捕获轨道运行时( B )
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
解析：冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 eq \f(T eq \\al(2,1) ,R eq \\al(3,1) ) ＝ eq \f(T eq \\al(2,2) ,R eq \\al(3,2) ) ，整理得T2＝T1 eq \r(\f(R eq \\al(3,2) ,R eq \\al(3,1) )) ≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号在近月点从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
3．(2024·广西卷，T1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( A )
A．a处最大
B．b处最大
C．c处最大
D．a、c处相等，b处最小
解析：根据F＝G eq \f(Mm,R2) ，可知图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大。
4．(2023·广东卷，T7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( B )
A．周期为2t1－t0
B．半径为 eq \r(3,\f(GM(t1－t0)2,4π2))
C．角速度的大小为 eq \f(π,t1－t0)
D．加速度的大小为 eq \r(3,\f(2πGM,t1－t0))
解析：由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得 eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r，解得半径r＝ eq \r(3,\f(GMT2,4π2)) ＝ eq \r(3,\f(GM\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t1－t0))2,4π2)) ，故B正确；P的角速度ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,t1－t0) ，故C错误；P的加速度大小a＝ω2r＝( eq \f(2π,t1－t0) )2· eq \r(3,\f(GM\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t1－t0))2,4π2)) ＝ eq \f(2π,t1－t0) · eq \r(3,\f(2πGM,t1－t0)) ，故D错误。
5．(2023·山东卷，T3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝ eq \f(Mm,r2) 。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( C )
A．30π eq \r(\f(r,g)) B．30π eq \r(\f(g,r))
C．120π eq \r(\f(r,g)) D．120π eq \r(\f(g,r))
解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G eq \f(M地m,R2) ，月球绕地球公转有G eq \f(M地m月,r2) ＝m月 eq \f(4π2,T2) r，r＝60R，联立有T＝120π eq \r(\f(r,g)) 。
6.(多选)(2024·广东卷，T9)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的 eq \f(1,10) 和 eq \f(1,2) 。地球表面重力加速度大小g取10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( AC )
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
解析：在行星表面，根据G eq \f(Mm,R2) ＝mg，可得g＝ eq \f(GM,R2) ，可得该行星表面的重力加速度大小g′＝4 m/s2，故A正确；由G eq \f(Mm,R2) ＝m eq \f(v2,R) ，可得v＝ eq \r(\f(GM,R)) ，故该行星的第一宇宙速度v行＝ eq \f(\r(5),5) v地＝ eq \f(\r(5),5) ×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，绳的弹力F弹＝(m背＋m探)g′，分离后瞬间，F弹不变，a＝ eq \f(F弹－m背g′,m背) ＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝m探g′v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D错误。
命题点3 卫星和天体运行的分析
7．(2024·新课标卷，T16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( B )
A．0.001 B．0.1
C．10倍 D．1 000倍
解析：设红矮星质量为M1，行星质量为m1，运行半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，运行半径为r2，周期为T2，G eq \f(M1m1,r eq \\al(2,1) ) ＝m1 eq \f(4π2,T eq \\al(2,1) ) r1，G eq \f(M2m2,r eq \\al(2,2) ) ＝m2 eq \f(4π2,T eq \\al(2,2) ) r2，联立可得 eq \f(M1,M2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r1,r2))) 3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1))) 2，解得 eq \f(M1,M2) ≈0.1。
8.(2024·湖北卷，T4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径，则( A )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
解析：在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
9.(多选)(2024·河北卷，T8)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0 × 103 km，远月点B距月心约为1.8 × 104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是( BD )
A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
解析：鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故A错误；鹊桥二号在A点时，有G eq \f(Mm,r eq \\al(2,A) ) ＝maA，同理在B点有G eq \f(Mm,r eq \\al(2,B) ) ＝maB，联立解得aA∶aB＝81∶1，故B正确；鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故D正确。
10．(多选)(2024·湖南卷，T7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的 eq \f(1,6) ，月球半径约为地球半径的 eq \f(1,4) 。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是( BD )
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 eq \r(\f(2,3))
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 eq \r(\f(3,2)) 倍
解析：G eq \f(M月m,r eq \\al(2,月) ) ＝m eq \f(v eq \\al(2,月) ,r月) ，G eq \f(M月m,r eq \\al(2,月) ) ＝mg月，联立解得v月＝ eq \r(g月r月) ，v地＝ eq \r(g地r地) ，代入题中数据可得v月＝ eq \f(\r(6),12) v地，故A错误，B正确；根据T＝ eq \f(2π,v) ·r可得T月＝ eq \r(\f(3,2)) T地，故C错误，D正确。
11.(2023·湖北卷，T2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( B )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
解析：火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有 eq \f(r eq \\al(3,火) ,r eq \\al(3,地) ) ＝ eq \f(T eq \\al(2,火) ,T eq \\al(2,地) ) 可得 eq \f(T火,T地) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(3,火) ,r eq \\al(3,地) )) ＝ eq \f(3\r(3),2\r(2)) ，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G eq \f(Mm,R2) ＝mg，由于不知道火星和地球的质量比和半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝ eq \f(2π,T火) ，ω地＝ eq \f(2π,T地) ，要发生下一次火星冲日则有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火))) t＝2π，得t＝ eq \f(T火T地,T火－T地) >T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。
题型一 开普勒定律的理解和应用
已知地球同步卫星距地面的高度约为地球半径的6倍，月球绕地球一圈的时间约为27天。如图，某时刻地球、月球和同步卫星的中心在一条直线，此时月球到同步卫星的距离与地球半径之比约为( C )
A．28 B．48
C．56 D．63
[解析] 设月球围绕地球运行的轨道半径为R月，同步卫星的运行轨道半径为R同，根据开普勒第三定律有 eq \f(R eq \\al(3,月) ,T eq \\al(2,2) ) ＝ eq \f(R eq \\al(3,同) ,T eq \\al(2,1) ) ，其中T1＝1天，T2＝27天，R同＝6R＋R，联立解得R月＝63R，故此时月球到同步卫星的距离与地球半径之比约为 eq \f(R月－R同,R) ＝ eq \f(63R－7R,R) ＝56。
题型二 万有引力定律的理解和应用
1．基本思路
根据G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r) ＝mω2r＝m eq \f(4π2,T2) r＝ma 求出相应物理量的表达式即可讨论或求解，需要注意的是a 、v 、ω 、T 均与卫星质量无关。
2．天体运行的基本规律
考向1 天体运行中的失重现象
空间站是一种在近地轨道长时间运行、可供航天员工作和生活的载人航天器，其运行轨道可以近似为圆。图甲为我国三名航天员站立在空间站内地板上的情景，图乙是航天员王亚平在空间站做的实验。已知同步卫星的轨道半径大于近地轨道半径，下列说法正确的是( D )
A．空间站内的航天员处于平衡状态
B．空间站内的航天员不能用拉力器锻炼肌肉力量
C．空间站的加速度比地球同步卫星向心加速度小
D．空间站内飘浮的水滴呈球形是由水完全失重和水的表面张力共同造成的
[解析] 空间站内的航天员处于完全失重状态，不是平衡状态，故A错误；拉力器的工作原理是弹簧的形变，与重力无关，所以依然能用拉力器锻炼肌肉力量，故B错误；因为空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，根据G eq \f(Mm,r2) ＝ma可知，空间站的加速度比地球同步卫星向心加速度大，故C错误；空间站内飘浮的水滴呈球形是由水完全失重和水的表面张力共同造成的，故D正确。
考向2 万有引力定律的应用
(2023·辽宁卷，T7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等。如图所示，若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( D )
A．k3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,T2))) 2 B．k3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1))) 2
C． eq \f(1,k3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,T2))) 2 D． eq \f(1,k3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1))) 2
[解析] 设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r可得G eq \f(m地m月,r eq \\al(2,1) ) ＝m月 eq \f(4π2,T eq \\al(2,1) ) r1，G eq \f(m地m日,r eq \\al(2,2) ) ＝m地 eq \f(4π2,T eq \\al(2,2) ) r2，其中 eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(R月,R日) ＝ eq \f(R地,kR日) ，ρ＝ eq \f(m,\f(4,3)πR3) ，联立可得 eq \f(ρ地,ρ日) ＝ eq \f(1,k3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1))) eq \s\up12(2) ，故选D。
(2023·湖南卷，T4)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的 eq \r(2) 倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( B )
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
[解析] 恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置的向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度，恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝ eq \f(GMm,R2) 可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得 eq \f(GMm,R2) ＝m eq \f(v2,R) ，整理得v＝ eq \r(\f(GM,R)) ，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝ eq \f(4π,3) R3ρ得R＝ eq \r(3,\f(3M,4πρ)) ，已知逃逸速度为第一宇宙速度的 eq \r(2) 倍，则v′＝ eq \r(2) v＝ eq \r(\f(2GM,R)) ，联立整理得v′2＝2v2＝ eq \f(2GM,R) ＝2G eq \r(3,\f(4πρM2,3)) ，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星的，结合上述表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。
考向3 天体运行参量的分析
(2024·湛江市一模)北京时间2024年1月9日，我国在西昌卫星发射中心采用长征二号丙运载火箭，成功将“爱因斯坦探针”空间科学卫星发射升空，卫星顺利进入高度为600 km、倾角为29°的近地轨道，发射任务取得圆满成功。已知同步卫星距地球表面高度约为35 900 km。下列说法正确的是( D )
A．该卫星的运行速度大于第一宇宙速度
B．该卫星的运行周期大于24 h
C．该卫星轨道处的重力加速度大于9.8 m/s2
D．该卫星运行的角速度大于同步卫星的角速度
[解析] 根据牛顿第二定律G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r) 可得v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，该卫星的运行半径大于地球的半径，故运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；根据G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r可得T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) ，该卫星的运行半径小于地球同步卫星的半径，同步卫星的运行周期为24 h，故该近地卫星的运行周期小于24 h，故B错误；由T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) 又ω＝ eq \f(2π,T) 知，半径r越小，周期T越小，角速度ω越大，因为该卫星运行周期小于同步卫星的周期24 h，故该卫星的运行角速度大于同步卫星的角速度，故D正确；由mg＝G eq \f(Mm,R2) ，mg1＝G eq \f(Mm,r2) 可知，由于r>R联立知g1RB，则vA>vB，B错误；根据以上分析，可知 eq \f(mA,mB) ＝ eq \f(RB,RA) ，而RA>RB，故mA