广西2023_2024学年高一数学上学期12月联考试题含解析

这是一份广西2023_2024学年高一数学上学期12月联考试题含解析，共21页。试卷主要包含了 若函数，则的定义域为， 若角终边经过点，则的值为， 函数的大致图象是， 若，，，，则下列说法正确的是， 已知，，则与之间的大小关系是， 与终边相同角是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，则的最小值为（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3. 若函数，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
4. 新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（）
A. B. C. D.
5. 若角终边经过点，则的值为（）
A. B. 1C. D.
6. 函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
7. 若，，，，则下列说法正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
8. 已知，，则与之间的大小关系是（）
A. B. C. D. 无法比较
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 与终边相同角是（）
A. B. C. D.
10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（）
A. 在上是减函数B.
C. 的值域是D. 的值域是
11. 已知函数（，为自然对数底数），则（）
A. 函数至多有2个零点B. ，使得是R上增函数
C. 当时，的值域为D. 当时，方程有且只有1个实数根
12. ，，为正实数，若，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若是上的奇函数，且，已知，则______.
14. 函数的值域为______.
15. 函数，则关于的不等式的解集为______.
16. 已知是定义域为R的奇函数，的部分解析式为，若方程的解为，，，且，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
19. 已知函数.
（1）证明函数为偶函数；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.
20. 首届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁举行，假设你是某纪念章公司委托的专营店销售总监.现有一款纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向学青会组委会上交特许经营管理费2元用于活动公益开支，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元..
（1）请你写出专营店一年内销售这种纪念章所获利润（元）与每枚纪念章的销售价格（元）的函数关系式；
（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一年内的利润最大？最大利润为多少元？
21. 已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若，求解关于的不等式的解集.
22. 已知函数（且）.
（1）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.
2023年广西三新学术联盟高一年级12月联考数学
本卷满分：150分，考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义，直接求解即可.
【详解】，，故
故选：B
2. 已知，则的最小值为（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】变形后由基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故选：B
3. 若函数，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的性质以及分式的性质即可求解.
【详解】的定义域满足：，解得且，
所以定义域为，
故选：A
4. 新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，先求出的符号，根据二分法结合零点存在定理，即可得出答案.
【详解】令，可知，.
又，则，
所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.
又，
所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.
故选：B.
5. 若角终边经过点，则的值为（）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用任意角三角函数的定义以及同角三角函数关系求解.
【详解】因为角终边经过点，所以，
所以
，
故选:C.
6. 函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用排除法先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值的符号进行判断.
【详解】从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称，
∵，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；
又，∴可排除A.
故选：C
7. 若，，，，则下列说法正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的相关性质可推理判断选项A,D,通过举反例判断选项B,C.
【详解】对于A选项，由可得，因，故不能判断的值正负，故A项错误；
对于B选项，因时，，故B项错误；
对于C选项，取满足，，但是有，故C项错误；
对于D选项，因，故，又因，故，由不等式的同向皆正可乘性可得：，
移项得：，故D项正确.
故选：D.
8. 已知，，则与之间的大小关系是（）
A. B. C. D. 无法比较
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】，
所以
所以
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 与终边相同的角是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】借助终边相同角的定义即可得.
【详解】与终边相同的角为，
对A选项：，故A错误；
对B选项：，故B正确；
对C选项：，故C正确；
对D选项：，故D错误.
故选：BC.
10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（）
A. 在上是减函数B.
C. 的值域是D. 的值域是
【答案】CD
【解析】
【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的单调性和值域，进而可得的值域与，从而得解.
【详解】因为，
而在定义域上单调递增，且，
在上单调递增，
所以在上是增函数，故A错误；
且，，故C正确；
所以，D正确；
而，故B错误.
故选：CD.
11. 已知函数（，为自然对数的底数），则（）
A. 函数至多有2个零点B. ，使得是R上的增函数
C. 当时，的值域为D. 当时，方程有且只有1个实数根
【答案】AD
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，考查每段的零点情况即可判定A;根据函数在上单调递减，可判定B；分段求出函数值的取值范围，可判定C，令，解出方程可判定D.
【详解】当时，，符合条件，故是函数的一个零点，
当时，令，
由韦达定理知，两个根之和，
故方程不可能有两个正根，也不可能有一正根一个根为零，
若方程有一负根一正根，则，解得，
即方程至多有一个正根，
综上可知，函数至多有2个零点，故A正确；
因为函数的图象开口向下，对称轴为，
故在上单调递减，
则不存在，使得是R上的增函数，故B错误；
当时，，
当时，函数的图象开口向下，对称轴为，
故在上单调递减，
所以，当时，
则函数的值域为，不符合题意，故C错误；
当时，，
令，则方程，可化为，
若，则，解得，
若，则，解得或者，均不符合条件，
故只有，
即，此时只有为其根，
故时，方程有且只有1个实数根，则D正确，
故选：AD.
12. ，，为正实数，若，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】将变形得到即可得、、间的大小关系，再分别构造出、化简后即可得、、大小关系.
【详解】由，
即有，由，则，
故A正确，B错误，
因为，
故，
因为，故，
同理，因为
故，
因为，故，即有，
故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若是上的奇函数，且，已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为是上的奇函数，，所以，
所以，
故答案为：
14. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.
【详解】由，得，
令，则，
因为，，
所以，因为函数在上单调递增，
所以，所以函数的值域为.
故答案为：
15. 函数，则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围.
【详解】因为，是恒成立的，
所以的定义域为R，
，
所以为奇函数，当时，为递增函数，又为递增函数，在其定义域上为增函数，故为增函数，
而，所以在R上为增函数，
所以可化为，
所以，即，解得，
故答案为：.
16. 已知是定义域为R的奇函数，的部分解析式为，若方程的解为，，，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据奇函数性质求出时的解析式，然后画出函数的图象，由有四个根，可得，结合图象，找到的范围，利用对勾函数单调性求解范围即可.
【详解】当时，，又为奇函数，
所以，当时，，
又为奇函数，所以，画出图象如下：
由图可知，当时，函数与交点横坐标，
当时，函数与交点横坐标为，
结合图象知，由对勾函数单调性知，函数在上单调递增，
所以，即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把方程问题转化为函数交点问题，数形几何分析方程根的范围，然后利用函数的性质求解范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】17. ；
18. .
【解析】
【分析】（1）先解对数不等式求集合A，然后由并集运算可得；
（2）由知，分和利用数轴讨论即可.
【小问1详解】
由得，即，
若，则，
所以，.
【小问2详解】
若，则，
当，即时，，满足题意；
当，即时，由图可得，无实数解.
综上，实数的取值范围为.
18. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案；
（2）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
19. 已知函数.
（1）证明函数为偶函数；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先分析的定义域，然后根据的关系进行判断即可；
（2）将问题转化为“”，利用基本不等式求解出，则的范围可求.
【小问1详解】
的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，
所以为偶函数；
【小问2详解】
因为，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，恒成立，即，
所以，解得或，
所以的取值范围为.
20. 首届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁举行，假设你是某纪念章公司委托的专营店销售总监.现有一款纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向学青会组委会上交特许经营管理费2元用于活动公益开支，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元..
（1）请你写出专营店一年内销售这种纪念章所获利润（元）与每枚纪念章的销售价格（元）的函数关系式；
（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一年内的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当每枚纪念章销售价格为元时，该专营店一年内的利润最大，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）根据题意，每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，得到与的函数关系式.
（2）分别求出各段函数的最大值比较即得解.
小问1详解】
依题意，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以当时，则， (元)，
当时，则或24时，(元)，
综上：当时，该特许专营店获得的利润最大为元.
即当每枚纪念章销售价格为元时，该专营店一年内的利润最大，最大利润为元.
21. 已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若，求解关于的不等式的解集.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）赋值法求出，，且，则，根据单调性的定义结合已知即可证明；
（2）赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化为.求解结合函数的单调性，即可得出答案.
【小问1详解】
在上单调递减，证明如下：
令，由已知可得，，
则.
由已知可得，.
，且，则，
则，
所以，，
所以，在上单调递减.
【小问2详解】
令，由已知可得.
又，
不等式化为.
由（1）知，在上单调递减，
所以，.
又，，
所以，所以有，
整理可得，，
解得，所以，.
所以，不等式的解集为.
22. 已知函数（且）.
（1）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）在上单调递增，则在上单调递减，即的范围就是在上的值域；
（2）由题可得，则问题转化为在上有两个互异实根，转化为二次方程根的分布问题求解即可.
【小问1详解】
由，得或．
∴的定义域为；
令，任取，
则，
因为，，，所以，
即函数在上单调递增；
又，∴在上为单调递减，
且当；
函数在有且只有一个零点，
即在有且只有一个解，∵函数在的值域为，
∴取值范围是．
【小问2详解】
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得．
又由（1）在上为增函数，在上为减函数.
则在上为减函数，得.
即在上有两个互异实根，由得，
即，有两个大于1的相异零点.
由，函数开口向上，且对称轴为，
则，解得．
故存在这样的实数符合题意．