2025届湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测数学试卷及参考答案

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，向量，，则是的（ ）
A 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数在R上单调递减，则取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ）
A. 六边形B. 五边形
C. 四边形D. 三角形
8. 已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，
C. 数据，，，，，，10的第百分位数是
D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为
10. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线表示两条直线
B. 若，则曲线椭圆
C. 若，则曲线是双曲线
D. 若，则曲线的离心率为
11. 在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A. 正三棱台的高为
B. 正三棱台的体积为
C. 与平面所成角的正切值为1
D. 正三棱台外接球的表面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知为等差数列的前项和，若，则______.
13. 从数字，，，中随机取一个数字，第一次取到的数字为，再从数字，…，中随机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是______.
14. 已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为
（1）求；
（2）求的取值范围.
16. 如图，在四面体中，，，，，M是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17. 已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围.
18. 已知函数，其中为常数.
（1）当时，试讨论的单调性；
（2）若函数有两个不相等的零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：
19. 已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有或，则称为数列
（1）列出所有数列的情形；
（2）写出一个满足的数列的通项公式；
（3）在数列中，记，若数列是公差为等差数列，求证：或.