2024-2025学年北京二十中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京二十中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合A={x|x2−1≥0}，若a∈∁UA，则a的值可以为( )
A. −1B. 12C. 1D. 2
2.直线x− 3y=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.设a，b∈R，且a>b，则( )
A. 1atanbC. 3−ab|b|
4.已知直线l1：2x+ay+1=0，直线l2：y=x−1，且l1//l2，则a=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.已知空间中的两条直线m，n都与一个平面α平行，则m和n的位置关系为( )
A. 平行或相交B. 相交或异面C. 平行或异面D. 平行、相交或异面
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC∩BD=O，D1O∩B1D=P，则直线PA与直线PB夹角的余弦值为( )
A. 66B. 33C. 55D. 22
7.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“k1>k2”是“α1>α2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1，双曲线C2：x2a2−y2b2=1，其中a>b>0.若C1与C2的焦距之比为1：3，则C2的渐近线方程为( )
A. 2x± 5y=0B. 5x±2y=0C. x± 2y=0D. 2x±y=0
9.已知直线l：kx−y−2k+2=0被圆C：x2+(y+1)2=25所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有( )
A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是 22；
③存在点P，使得∠B1PD1=90°；
④△PDD1面积的最小值是5 56．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ②③B. ②④C. ①③D. ①④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知i为虚数单位，复数z=(3−i)(4+i)，则z的虚部为______．
12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，则双曲线C的渐近线方程为______．
13.已知圆C1：(x−3)2+y2=9与圆C2：x2+y2−2mx+4y+4=0相交，写出满足条件的实数m的一个取值为______．
14.双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上焦点为F，A，B为曲线上两点，若四边形OFAB为菱形，则C的离心率为______．
15.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=3，其中E，F分别为边AD，BC上的点，且EF/​/AB，DE=2AE.将四边形CDEF折起至四边形C′D′EF，使平面C′D′EF与平面ABFE垂直.动点P在四边形C′D′EF及其内部运动，动点Q在四边形ABFE及其内部运动.给出下列四个结论：

①存在点P，Q，使得PQ=3；
②存在点P，Q，使得BP//C′Q；
③到直线AB和D′E的距离相等的点P有无数个；
④若BP⊥EP，则四面体BEPQ的体积的最大值为13．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点.求证：
(Ⅰ)BD//平面C1EF；
(Ⅱ)EF⊥平面ACC1A1．
17.(本小题14分)
已知直线x+2y−3=0与直线3x−y−2=0的交点为P．
(Ⅰ)直线l1经过P，且与直线l：3x+4y+1=0垂直，求直线l1的方程；
(Ⅱ)直线l2经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程．
18.(本小题15分)
已知圆C：x2+y2−10x=0．
(Ⅰ)过点A(3,2)作直线l，其倾斜角为45°，求直线l被圆C截得的弦长；
(Ⅱ)求过点B(0,−3)的圆C的切线方程．
19.(本小题15分)
已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分别为PC、PD的中点，过EF的平面EFG交BC于点G，平面EFG/​/平面PAB．
(Ⅰ)证明：G为BC的中点；
(Ⅱ)取AD的中点O，连接OC，OE，OG，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(i)A到平面EFG的距离；
(ii)二面角G−OE−C的余弦值．
条件①：PC=4 2；
条件②：CD⊥平面PAD．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题14分)
已知直线l过点P(3,0)，且与椭圆x24+y2=1相交于不同的两点M，N．
(Ⅰ)若M，N中点的纵坐标为 22，求直线l的方程；
(Ⅱ)若弦长MN= 3，求k的值．
21.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,−2)，离心率为 22．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及焦点的坐标；
(Ⅱ)若直线y=kx+4与椭圆E交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：kAN=kAG．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.D
6.A
7.D
8.A
9.B
10.C
11.−1
12.y=±2x
13.1(答案不唯一)
14.1+ 3
15.①③④
16.证明：(Ⅰ)∵E，F分别为BB1，DD1的中点，BB1=DD1，BB1/​/DD1，
∴BE/​/DF且BE=DF，∴四边形BDFE为平行四边形，
∴BD//EF，又EF⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，
∴BD/​/平面C1EF．
(Ⅱ)∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵BD/​/EF，∴AC⊥EF，
∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
∵BD/​/EF，AA1⊥EF，又AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，
∴EF⊥平面ACC1A1．
17.解：(Ⅰ)联立x+2y−3=03x−y−2=0，解得x=1y=1，则P(1,1)，
又直线l1经过P，且与直线l：3x+4y+1=0垂直，
∴直线l1的斜率为43，则直线l1的方程为y−1=43(x−1)，即4x−3y−1=0；
(Ⅱ)直线l2经过P，且在两坐标轴上的截距相等，
当直线l2过坐标原点时，直线方程为y=x，
当直线l2不过坐标原点时，设直线方程为x+y=m，把P(1,1)代入，
得1+1=m，即m=2，则直线l2的方程为x+y=2．
综上可得，直线l2的方程为x−y=0或x+y−2=0．
18.解：(Ⅰ)过点A(3,2)作直线l，其倾斜角为45°，可得直线方程为：y−2=x−3，即x−y−1=0，
圆C：x2+y2−10x=0的圆心(5,0)，半径为5，圆心C到直线l的距离为d=|5−0−1| 2=2 2，
直线l被圆C截得的弦长：2 25−(2 2)2=2 17．
(Ⅱ)圆C：x2+y2−10x=0的圆心(5,0)，半径为5，B(0,−3)，
由|BC|= 34>5，点B在圆C外，当过点B(0,−3)的直线与x轴垂直，x=0，满足题意．
当切线的斜率垂直时，设为k，切线方程为y+3=kx，可得5=|5k−3| 1+k2，解得k=−815，
切线方程为：y=−815x−3，即8x+15y+45=0．
所求切线方程为：x=0或8x+15y+45=0．
19.(Ⅰ)证明：因为平面EFG/​/平面PAB，平面PBC∩平面EFG=EG，平面PBC∩平面PAB=PB，
所以EG/​/PB，
又E是PC的中点，
所以G为BC的中点．
(Ⅱ)解：选择条件①：
因为PC=4 2，PD=CD=4，所以PD2+CD2=PC2，即PD⊥CD，
因为正方形ABCD，所以AD⊥CD，
又PD∩AD=D，PD、AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为O，G分别为AD，BC的中点，所以OG/​/CD，
所以OG⊥平面PAD，
因为△PAD是正三角形，且O为AD的中点，所以OP⊥AD，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(−1,0, 3)，E(−1,2, 3)，G(0,4,0)，C(−2,4,0)，
(i)EF=(0,−2,0)，EG=(1,2,− 3)，AG=(−2,4,0)，
设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−2y=0m⋅EG=x+2y− 3z=0，
取z=1，则x= 3，y=0，所以m=( 3,0,1)，
所以A到平面EFG的距离为|AG⋅m||m|=|−2 3|2= 3．
(ii)OE=(−1,2, 3)，OC=(−2,4,0)，
设平面OEC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅OE=−a+2b+ 3c=0n⋅OC=−2a+4b=0，
取b=1，则a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，
因为EF//CD//OG，所以O，G，E，F四点共面，
所以平面OEG的法向量为m=( 3,0,1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=2 32× 5= 155，
由图知，二面角G−OE−C为锐角，
所以二面角G−OE−C的余弦值为 155．
选择条件②：
因为O，G分别为AD，BC的中点，所以OG/​/CD，
又CD⊥平面PAD，所以OG⊥平面PAD，
因为△PAD是正三角形，且O为AD的中点，所以OP⊥AD，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(−1,0, 3)，E(−1,2, 3)，G(0,4,0)，C(−2,4,0)，
(i)EF=(0,−2,0)，EG=(1,2,− 3)，AG=(−2,4,0)，
设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−2y=0m⋅EG=x+2y− 3z=0，
取z=1，则x= 3，y=0，所以m=( 3,0,1)，
所以A到平面EFG的距离为|AG⋅m||m|=|−2 3|2= 3．
(ii)OE=(−1,2, 3)，OC=(−2,4,0)，
设平面OEC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅OE=−a+2b+ 3c=0n⋅OC=−2a+4b=0，
取b=1，则a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，
因为EF//CD//OG，所以O，G，E，F四点共面，
所以平面OEG的法向量为m=( 3,0,1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=2 32× 5= 155，
由图知，二面角G−OE−C为锐角，
所以二面角G−OE−C的余弦值为 155．
20.解：(Ⅰ)易知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=k(x−3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=k(x−3)x24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2−24k2x+36k2−4=0，
此时Δ=(−24k2)2−4(1+4k2)(36k2−4)>0，
解得k20，解得：k2>32，
则xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
则MB的方程为：y=kxM+6xMx−2，
令y=1，解可得x=3xMkxM+6，则G(3xMkxM+6,1)，
则AG=(3xMkxM+6,−1)，AN=(xN,kxN+2)
欲证kAN=kAG，即A，G，N三点共线，只需证明AG//AN即可，
只需证明3xMkxM+6×(kxN+2)=−xN成立即可，
只需证明(3k+k)xMxn=−6(xM+xN)即可，
又由xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
代入(3k+k)xMxn=−6(xM+xN)，易得该式成立，
故kAN=kAG．