浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】因为直线经过，
所以经过该两点的直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：D
2. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】由题意圆：即圆：的圆心，
半径分别为，
圆：即圆：的圆心，
半径分别为，
所以两圆的圆心距满足，
所以两圆的位置关系为相交.故选：B.
3. 在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可作出平行六面体，如图，
则，
即，故A正确.
故选：A.
4. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知双曲线，则焦点坐标，渐近线方程为，
不妨取焦点，渐近线，
所以焦点到渐近线的距离为，故B正确.
故选：B.
5. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，所以.
故A正确.
故选：A.
6. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，为的中点，为的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接,则,过点作,垂足为，连接.
因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，
又平面,则.设正方形的边长为4，则,
在中，由余弦定理可得：,
在中，,又,
设,在中，由余弦定理：.
故选：C.
7. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A选项，，所以A选项错误.
B选项，
，所以B选项错误
C选项，
，所以C选项错误.
D选项，
，
所以D选项正确.
故选：D
8. 设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示，

由题意可知，点为椭圆的左焦点，
因为点、，易知点为线段的中点，
又因为为的中点，所以，
取线段的中点，连接，则，
所以，则，所以，
设点、，则点，
所以，两个等式作差可得，可得，
所以，
因为椭圆离心率为，得，
所以，即，故B正确.
故选：B.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是
B. 直线恒过定点
C. 点关于直线对称的点为
D. 过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误；
对于B项，由可得：，因，则有：，
故直线恒过定点，故B项正确；
对于C项，不妨设,直线，因直线的斜率为与直线的斜率为1的乘积为，则得,
又由点到直线距离为与点到直线的距离为相等，且在直线的两侧，故点关于直线对称的点为，即C项正确；
对于D项，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有，故D项错误.
故选：BC.
10. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（ ）
A. B.
C. D. 数列共有84项
【答案】ACD
【解析】1到500这500个数中能被2除余1的数有：1，3，5，7……499，
1到500这500个数中能被3除余1的数有：1，4，7……499，
由题意现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，
构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，
所以，
所以，，，数列共有84项.
故选：ACD.
11. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 的最小值为5
C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为
D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确；
对于B，如图所示：
过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点，
所以，
等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确；
对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为，
联立抛物线方程得，
所以，解得，
所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误；
对于D，由题意，
所以，
所以直线，
即，联立抛物线方程得，
所以，，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为，即．
令，则有，
则，令，则，
令，可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故，
所以总有，故单调递减；所以，即；
对于A，，故A错误；
对于B，设，则，
故在上单调递增，所以，
所以，因为，所以，故B正确；
对于C，，即．
设，则，
则，所以单调递增．
因为，所以，故C正确；
对于D，，即，
令，则，
因为，所以为偶函数，
所以即为．
则，令，则，所以单调递增．
又，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
当时，，故D错误；
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________．
【答案】
【解析】由，得.
故答案为：
14. 已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则_______．
【答案】
【解析】设数列的公比为，
由题意知，，成等差数，则，即，
解得或（舍），
所以数列的通项公式为，则.
故答案为：.
15. 若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】（写出符合条件的一个方程即可）
【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为：，
由消去y得：，
则，化简得，
由，消去y得：，
则，化简得，
由，解得，则，
所以直线方程为：，
故答案为：（写出符合条件的一个方程即可）
16. 已知函数有两个零点，求的取值范围______.
【答案】
【解析】由求导可得：
当时，，在上单调递增，所以至多有一个零点．
当时，由可得：，由可得：，故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，取得最小值，
．
令，，则，所以，在上单调递减．
又，所以要使，即，则．
又因，
所以在上有一个零点．
又
令，，则，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以．
所以在上也有一个零点．
综上所述，a的取值范围是．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
解：（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
∴极大值为，极小值为.
18. 已知的三个顶点，，．
（1）求边上中线所在直线的方程；
（2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
解：（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，
即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
19. 已知数列的首项，且满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，求正整数的最大值.
解：（1）易知各项均为正，对两边同时取倒数得，
即，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
所以，
显然单调递增，
且，
所以的最大值为4046.
20. 如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,平面平面,是边长为2的正三角形,，，.

（1）若平面，求的值；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
解：（1）分别取中点，连接，
由已知底面是直角梯形，，，，
易得，
∵平面平面，平面平面，面，
∴平面，又因为平面，
所以，
以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
∵，
∴，
显然是平面的一个法向量，
若平面，则，即；
（2）若，则，
由（1），
所以，
所以，
设分别为平面与平面的一个法向量，
所以或，
令，解得，
则，

设平面与平面的夹角为，
故，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
21. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当，证明：.
解：（1）定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，
所以，
所以恒成立，
∴原命题得证.，即：当时，.
22. 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点．
解：（1）因为椭圆过点，离心率为，
所以，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）显然直线斜率存在，设方程为，，
联立方程
得，
，
由直线方程为，直线方程为，
得，
.
中点为定点．3
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗