山西省三晋名校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省三晋名校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知为幂函数,则( )
A.B.C.4D.
3．“”是“”的( )
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
4．某学校举办了多个课余活动,高一(1)班有40名同学,其中25名同学参加了体育活动,15名同学参加了科学活动,有10名同学这两个课余活动均没参加,则这个班既参加了体育活动,又参加了科学活动的同学有( )
A.4名B.6名C.8名D.10名
5．若,,则( )
A.12B.24C.D.
6．已知指数函数与的图象如图所示,则( )
A.B.
C.D.
7．已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.
C.D.
8．已知,且,则的最小值为( )
A.12B.10C.9D.8
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的有( )
A.空集是任何集合的子集
B.“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”
C.“”是的一个充分条件
D.已知a,,则是“”的充要条件
10．已知关于x的不等式的解集为,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.关于x的不等式的解集为
D.若,则的最大值为1
11．已知函数满足对于任意不同的实数x,y,都有,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．_______________.
13．若,,则的取值范围为_____________.
14．已知函数,则_____________.
四、解答题
15．已知集合,.
(1)若B中恰有一个元素,用列举法表示a的值构成的集合;
(2)若,求a的取值范围.
16．梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”.眼下正值梅州金柚热销之时,某水果店为促销梅州金柚,提供了阶梯式购买方案,购买方案如下表：
记顾客购买的金柚重量为,消费额为元.
(1)求函数的解析式;
(2)已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚,甲、乙计划购买的金柚重量分别为,,求甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱.
17．已知.
(1)证明.
(2)若,求的最小值.
18．已知函数满足
(1)求的解析式;
(2)用定义法证明在上单调递减.
19．已知是定义在R上的奇函数,函数.
(1)求a,b的值;
(2)求的值域;
(3)已知,且,若对于任意,存在,使得成立,求t的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：易知,,
所以.
故选：C
2．答案：C
解析：因为是幂函数,所以,得,
则,.
故选：C.
3．答案：C
解析：由,解得或,
所以能得出,但成立不一定能得到,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为高一(1)班有40名同学,其中25名同学参加了体育活动,15名同学参加了科学活动,有10名同学这两个课余活动均没参加,
所以这个班既参加了体育活动,又参加了科学活动的同学有名.
故选：D.
5．答案：B
解析：.
故选：B.
6．答案：A
解析：由图可知,,,则,,从而.
故选：A.
7．答案：B
解析：因为的定义域为,所以在中,,
则,
则在中,,则.
又,所以的定义域为.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为,所以,
由,得,
则
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为12.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：对于A,空集是任何集合的子集,故A正确;
对于B,“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”,故B正确;
对于C,若,则,,
当且仅当时,等号成立,
故“”是“”的一个充分条件,故C正确;
对于D,取,,则,,故D错误.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：因为关于x的不等式的解集为,
所以整理得
则.
,
解得.
,即,解得,
则.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：由,得,
则,整理得.
令函数,则由,得,
从而在R上单调递增,则,即,,
即,A正确,B不正确.
因为,所以,则,
即,C正确.
因为单调性不确定,而,即,所以与的大小关系不确定,D不正确.
故选：AC.
12．答案：3
解析：
故答案为：3.
13．答案：
解析：因为,,所以,,则.
所以,的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：当时,,.
当时,.
故对于任意,都有.
设,则,
则,
从而.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)若,即,则,符合题意.
若,即,则由B中恰有一个元素,得,
解得或.
综上所述,a的值构成的集合为.
(2)由,解得或,则.
若,符合,则解得或.
若,则,解得,则,符合.
若,则,解得,则,不符合.
综上所述,a的取值范围为.
16．答案：(1)
(2)6元钱
解析：(1)当时,;
当时,;
当时,.
故
(2)当甲、乙两人各自购买时,消费总额为元.
当甲、乙一起购买时,消费总额为元.
故甲、乙一起购买时比他们各自购买时节省了6元钱.
17．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)证明：
因为,所以,,
则,从而.
(2)因为,所以.
.
因为,所以,
当且仅当,时,等号成立,
故的最小值为.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)因为恒成立,所以的定义域为R,
,
令,,则,
故的解析式为,.
(2)证明：任取,,令,
则,
因为,所以,,
从而,即,
故在上单调递减.
19．答案：(1),
(2)
(3)
解析：(1)因为是定义在R上的奇函数,所以,
则,即,
令,,得
解得,,
经检验知当,时,是定义在R上的奇函数,故,.
(2)由(1)可知,
因为,所以,
则,即的值域为.
(3),
因为函数在上单调递增,函数在上单调递减,
所以在上单调递增,则当时,.
由,得.
若,则,由对于任意,
存在,使得成立,得恒成立;
若,则,由对于任意,
存在,使得成立,得,解得.
综上所述,t的取值范围为.
购买的金柚重量/kg
金柚单价/（元/kg）
不超过5kg的部分
10
超过5kg但不超过10kg的部分
9
超过10kg的部分
8