重庆南开中学高2026级高一（上）期末考试数学试卷

这是一份重庆南开中学高2026级高一（上）期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上。
（命题人：吴剑 敖羚峰 戴隆杰 ）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡的相应位置上．
1.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
4.已知点，则点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知函数的图像关于对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A. B. C. D.
7.已知实数，，且，则以下说法正确的是（ ）
A.B．的值为或 C． D．的值为
8.已知，，，则以下关于的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
9.若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B． C．D．
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数的周期为 B. 函数的一个对称中心
C. 是函数的一个周期 D.不等式的解集为
11.已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若周期为2，则为奇函数 B. 为奇函数
C. 若周期为4，则为偶函数 D. 为奇函数
12.已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（ ）
A.的值为
B.在单调递增
C.
D.若方程且在内至少个不同的根，则实数的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上．
13.命题，的否定是
14.南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为

15.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
16.已知，若函数在区间单调递减，则正实数的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
17.(10分)已知指数函数的反函数为.
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数，求不等式的解集.
18.(12分)已知函数，.
（1）设是函数图像的一条对称轴，求的值；
（2）将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域.
19.(12分)已知，其中.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20.(12分)长时间的实践表明，冲泡绿茶用开水最为合适，饮用时茶水温度在至之间口感最佳.已知环境温度为，物体温度为时，经过分钟后物体温度满足，其中为常数.某实验小组通过数据收集，计算得常数，假设近期室内温度均为.
（1）以开水冲泡绿茶，经过分钟后茶水温度约为多少？
（2）早上张老师到办公室上班，先用开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长.
（注意：本题结果都保留两位小数，参考数据，，）
21.(12分)已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图像与函数的图像恰有两个不同的交点，求实数的取值范围.
22.(12分)已知函数，若的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有三个不同零点，且.
( = 1 \* rman i)求实数取值范围；
( = 2 \* rman ii)若，求实数的取值范围.
重庆南开中学2023-2024学年第一学期高2026级期末考试
数学试题答案
选择题
8、解：由题知，令，因为，，
所以。
因为，又因，所以。
因为，令，则单调递减，且，因为，
所以，即，所以。
综上所述，。
12、解：A选项，令，结合图像有，解得，因为，所以，故A对。
B选项，因为，当，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以B正确。
C选项，因为，
且，，
其中，因为，所以，所以，所以，所以，所以C不正确。
D选项，，，即，
所以或，
解得或。
①. 当时：分别令，解得，因为，且，
所以至多一个解。
②. 当时：分别令，解得，又令，解得，
令，解得，因为，所以当时，至少有三个解。
填空题
13．， 14． 15． 16．
16、解：由题有，令，令，则有函数由函数与函数复合而成，所以，解得。
又
综上所述，的取值范围是。
解答题
17、解：（1）由题有：，解得，所以或者.
又因为且，所以，所以.
（2），所以原不等式为，
所以，所以解集为。
法2：因为在上的偶函数，且在单调递增，故原不等式等价于等价于，
即故不等式的解集为。
解：（1）由题意知：，解得（），
所以.
①. 当为奇数时，；②. 当为偶数时，.
（2）
则有，
所以.
令，结合函数图象有的值域为，所以的值域为.

解：（1）由得：，的范围是。
由，的范围是。
所以可得的范围是，所以，
所以.
（2）由题意知：，令，所以。
则，
其中，。
所以原式。

解：（1）由题意知：。
（2）设茶水温度从降低到所需时间为分钟，降低到所需时间为.
则有：，解得分钟，
，解得分钟。
所以分钟。
所以张老师的茶水保持最佳口感的时长大约为分钟。
解：（1），令，则.
解不等式，解得或，即或，所以.
（2），
令，原式等价于，
令，原式等价于，即。
令，则有单调递增，且，所以解得。
原命题等价于有两个不同的交点，即，结合图像知.
22.（1）
，；，即.
（2）(ⅰ)令，，则当时，
由，图像可知，要使有三个不同零点
的两根，需满足：
①. 若其中一根，则有，解得，此时另一根，不合题意.
②. 若其中一根，则有，解得，此时另一根，不合题意.
③. 两根，，
令，则有，解得
故的取值范围为.
(ⅱ)令，，
由题，，即
，，
在上单调递增，
故，又，，且,为方程的两根
，由韦达定理：，
得，，由，得
，即，故
，，又，解得
，
即，解得，又
综上：时，的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
B
A
B
D
BC
ACD
AD
ABD