河南省封丘县金瀚学校2024-2025学年九年级上学期期末教学质量评估数学试卷

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姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________
一、选择题（每小题3分,共30分）
1. 下列关于的方程中,是一元二次方程的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
2. 下列计算错误的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
3. 用配方法解一元二次方程,配方后为 【 】
（A） （B）
（C） （D）
4. 如图所示,在⊙O中,点B是弧AC的中点,若,则 【 】
（A） （B） （C） （D）

5. 如图所示,平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,E是AB的中点,且,则平行四边形ABCD的周长为 【 】
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
6. 若关于的一元二次方程有实数根,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）≥ （C）≤ （D）
7. 若点都在二次函数的图象上,则的大小关系是 【 】
（A） （B） （C） （D）取决于的值
8. 抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表:
从表中数据可知,下列说法正确的是 【 】
（A）抛物线的对称轴为直线
（B）方程的解为
（C）函数的最大值为6
（D）在抛物线对称轴的右侧,随的增大而增大
9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.在计算时,如图所示,在Rt△ABC中,,延长CB至点D,使,连结AD,得到,所以.类比这种计算方法,计算的值为 【 】
（A） （B） （C） （D）
…
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
10. 二次函数的图象如图所示,下列结论:
①; ②函数的最大值为;
③当≤≤1时,≥0; ④.
其中正确结论的序号是 【 】
（A）①② （B）②③ （C）①②③ （D）②③④
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. 计算:_________.
12. 已知二次函数同时满足下列两个条件:
（1）当时,随的增大而增大;
（2）该函数图象的顶点在第二象限.
请写出一个这样的二次函数的表达式:________________.
13. 如图是一位同学设计的利用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P放一水平的平面镜,光纤从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知,测得米,米,米,那么该古城墙的高度CD为_________.
14. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点,点B的坐标为.若点在此抛物线上,则AB的长为_________.
15. 如图所示,正方形ABCD的边长为2,点E为AD边的中点,正方形所在平面内有一个动点P,它到点E的距离始终为1,以BP为直角边作等腰直角△PBQ,则PQ的最大值为_________,最小值为_________.
三、解答题（共75分）
16.（10分）（1）计算:;
（2）解方程:.
17.（9分）第八届丝博会于2024年9月20日至24日在西安国际会展中心举办,
本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题.在丝博会举办之际,某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”.某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选.
（1）若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者,则选到男生的概率是________.
（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者,请用列表法或画树状图法求出一男一女当选的概率.
18.（9分）如图,△ABC是⊙O的内接三角形,且AB为直径.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹,不写作法）;
（2）若（1）中所作的角平分线与⊙O交于点D,连结AD、BD,求证:.
19.（9分）如图所示,在正方形ABCD中,E是边AD上的点,点F在边CD上,且,.
（1）求证: △ABE∽△DEF;
（2）若,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长.
20.（9分）某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于40%,经试销发现,销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数.
（1）当销售单价为80元时,求商场获得的利润;
（2）设该商场获得的利润为W元,试写出利润W与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
（3）若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价的范围.
21.（9分）舂米是中国传统农业劳作方式,过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节,最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期.舂的结构类似于杠杆（如图1所示）,一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”,“碓”的头部下
面有杵,碓尾部的地下挖一个深坑,能使碓头翘的更高,提高舂米效率.舂米工作时（如图2）,碓尾落于深坑底部时,在点O处测得碓头B所在位置仰角为,已知坑深32 cm,碓身AB长180 cm,求碓头B离地面的高度.（结果精确到1 cm,参考数据:）

22.（10分）已知抛物线的顶点为D.
（1）若抛物线经过原点,求的值及顶点D的坐标;
（2）在（1）的条件下,把≥0时函数的图象记为,将图象绕原点旋转,得到新图象,设图象与图象组合成的图象为M.
①图象的解析式为________________（写出自变量的取值范围）;
②若直线与图象M有3个交点,请直接写出的取值范围.
23.（10分）综合与实践课上,老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动.
（1）操作判断
如图1,正方形纸片ABCD,在边BC上任取一点E,连结AE,过点B作于点G,与边CD交于点F.
根据以上操作,请直接写出图1中线段BE与CF的数量关系是:____________;
（2）迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片,继续探究,过程如下:
如图2,在矩形纸片ABCD中,,在边BC上任取一点E,连结AE,过点B作于点G,与边CD交于点F,请求出的值,并说明理由;
（3）拓展应用
如图3,已知正方形纸片ABCD的边长为2,动点E由点A向终点D作匀速运动,动点F由点D向终点C作匀速运动,动点E、F同时开始运动,且速度相同,连结AF、BE,交于点G,连结GD,则线段GD长度的最小值为________,点G的运动轨迹的长为_________.（直接写出答案不必说明理由）