2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．数列，…的一个通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．B．
C．D．
8．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则说法不正确（ ）
A．线段AB长度的最小值为
B．当直线斜率为时，中点坐标为
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．存在点，使得
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线的方程为，则（ ）
A．直线在轴上的截距为2
B．直线在轴上的截距为3
C．直线的倾斜角为锐角
D．过原点且与垂直的直线方程为
10．曲线，下列结论正确的有（ ）
A．若曲线C表示椭圆，则且不等于0B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值
C．若，则短轴长为D．若，则渐近线为
11．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到渐近线的距离为4
D．直线与直线的斜率乘积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线：，：，若，则实数 .
13．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ．
14．椭圆上的点到直线的最远距离为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知关于的方程：．
(1)当为何值时，方程表示圆；
(2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值．
16．已知数列的前n项和，.
(1)写出数列的通项公式.
(2)证明：数列是等差数列；
17．顶点在原点，焦点在轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，求的长．
18．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求MN的方程；
(3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.
19．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点P在定直线上.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意可知：直线，即，
可知直线l的斜率，
设直线l的倾斜角为，则，所以.
故选：D.
2．【正确答案】C
【详解】由题意得，，解得，，
故，
故双曲线渐近线方程为.
故选：C
3．【正确答案】D
【详解】解：因为，，，
所以此数列的一个通项公式可以是.
故选：D.
4．【正确答案】C
【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有.
故选：C
5．【正确答案】C
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】
以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．【正确答案】B
【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，可得，且，
所以，所以，且，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，
所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误；
对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，
垂足分别为，如下图：
由抛物线的定义可知：，
即等于以为直径的圆的半径长，故C正确；
对于D：当时，.
所以，
由选项A可知：，所以，所以此时，
所以的倾斜角互补，所以，故D正确；
故选：B
9．【正确答案】BCD
【详解】在中，令，得，所以A不正确；
令，得，所以B正确；
因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；
因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.
故选：BCD
10．【正确答案】ACD
【详解】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确；
若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，所以，
当焦点在轴上时，，所以，故B错误；
当时，方程为，故，，故C正确；
当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】BD
【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可.
【详解】由双曲线知，，，
对于A，双曲线的离心率为，故A错误；
对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；
对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；
对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；
故选：BD.
12．【正确答案】3
【详解】故3.
13．【正确答案】
【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解．
【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，
由题可知，的周长为，
又，
易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设椭圆上的点，则点到直线的距离：
，
显然当时，，
所以椭圆上的点到直线的最远距离为.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由圆的一般方程性质可知：
解得，
所以当时，方程表示圆.
（2）由，得，
所以该圆圆心为，半径
所以圆心到直线的距离
根据弦长公式可知：
解得.
16．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
当时，，满足，
即数列的通项公式．
（2），
当时，为常数，
则数列是等差数列．
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线的标准方程为，
因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，故抛物线的标准方程为.
（2）抛物线的焦点坐标为，且点在直线上，

设点、，联立，消去可得，
，由韦达定理可得，
由抛物线的焦点弦长公式可得.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为，
得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
（3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
19．【正确答案】(1).
(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
即双曲线方程为.
（2）由（1）可得，设，
显然直线的斜率不为0，则设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
即可得点P在定直线上运动.