2024-2025学年河北省承德市高新区高二上学期11月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市高新区高二上学期11月月考数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知圆关于直线对称，则（ ）
A．B．1C．D．0
2．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（ ）
A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合
4．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．异面垂直D．异面不垂直
6．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．圆（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
10．椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．椭圆的离心率为
C．的长为
D．的面积为
11．在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线，所成的角为
D．与平面所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线，，且，则 .
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 .
14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论：
①当点是中点时，直线平面；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆.
(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；
(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.
①求四边形面积的最小值；
②当点横坐标为4时，求直线的方程.
16．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.

(1)求证：
(2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.
17．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为.
(1)求的方程.
(2)直线 与C交于两点（点不重合）.
①求的取值范围；
②若，求.
18．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
19．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：eq \f(k1,k2)为定值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由题意直线过圆心，则.
故选：B
2．【正确答案】B
【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，
故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，
故，故椭圆的标准方程为.
故选：B
3．【正确答案】A
【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
即，所以或重合.
故选：A
4．【正确答案】A
【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，
因此反射光线所在直线过点，方程为，即.
故选：A
5．【正确答案】C
【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，，，，
，，
，，
又平面，平面，平面，且，
直线与异面垂直．
故选：C．
6．【正确答案】C
【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
所以双曲线C的离心率为，
故选：C
7．【正确答案】A
【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设关于平面的对称点为，
则，
设平面的法向量，
则即
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以与到平面的距离，
即①，又，所以②，
所以由①②得，又由可得，所以，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．
故选：A．

8．【正确答案】A
【详解】如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，
所以，
设，因为，则
在中，由余弦定理得：，
化简得：，即，
从而有，
整理得，（当且仅当时等号成立）
故选：A.
9．【正确答案】ABC
【详解】由圆的方程为，即，
即圆心的坐标为，
A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确；
B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确；
故选：ABC.
10．【正确答案】ACD
【详解】由题意：为面积是的正三角形，
故且，故；
的周长为，故A正确；
椭圆的离心率，故B错误；
设，则，由知；
由余弦定理：，所以，C正确；
，故D正确，
故选：ACD.
11．【正确答案】AC
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.
对于A，因为，平面的一个法向量为，
所以，所以平面，故A正确.
对于B，因为，，
所以，
所以DP，EC不垂直，故B错误.
对于C，因为，，
所以，
所以异面直线，所成的角为，故C正确.
对于D，设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得.
设与平面所成的角为，因为，
所以，
，故D错误.
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】由，则，即.
故
13．【正确答案】
【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，
可知，则，即，
又因为，得解得，故双曲线方程为.
故答案为.
14．【正确答案】①②③
【详解】对①，如图所示:

因为是中点，，
所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接，
所以，而平面，平面，
所以直线平面，故①正确；
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点，
所以，平面，平，故平面，
故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
，，，
，，
由得，故②正确；
对③，设，，，
则，，
由，得，
得，由，故存在点，使得，故③正确；
对④，由③得到的投影为，
故到的距离，
面积为，，
由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错．
故①②③
15．【正确答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，
即，解得的取值范围是.
（2）①易知，
所以，
等号对成立，故最小值是；
②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，
因为，所以圆的半径为，
方程为，即，
直线AB为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线AB的方程为.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形为正方形，平面，
如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，

所以，
所以，
所以，所以.
（2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，
则，又，
所以，解得（负值舍去），
所以存在满足条件，
所以，依题意可得，
设为平面的法向量，
则，设，可得，
所以点到平面的距离为.
17．【正确答案】(1)
(2)①，②
【详解】（1）设，则，
将代入，可得，即
即点的轨迹的方程为；
（2）①由，联立整理得：，
由，即，化简得，
故，
②当时，，解得，
故.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因平面平面，平面平面,
由底面是正方形，可知,且平面,则平面，
又平面，故；
（2）
如图，分别取的中点为，连接.
因，则,
因平面平面，平面平面,
且平面，则平面，
又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，
于是，,
设平面的法向量为，
则，故可取；
因,设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由（2）建系，则,
设平面的法向量为，
则，故可取，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【正确答案】(1) x2－eq \f(y2,4)＝1(2)证明见详解
【详解】(1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，
∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，
∴eq \f(b,a)＝2，∴a＝1，
故双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，
由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，）
得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y1＋y2＝－eq \f(16n,4n2－1)，
y1y2＝eq \f(12,4n2－1)，
∴ny1y2＝－eq \f(3,4)(y1＋y2)，
∵直线MA的斜率k1＝eq \f(y1,x1＋1)，
直线NB的斜率k2＝eq \f(y2,x2－1)，
∴eq \f(k1,k2)＝eq \f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1）＝eq \f(y1(ny2＋1),y2(ny1＋3）＝eq \f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq \f(－\f(3,4)(y1＋y2)＋y1,－\f(3,4)(y1＋y2)＋3y2)＝－eq \f(1,3)，为定值．