【寒假提升训练】人教版 初中数学 七年级上册 提升训练 第03讲 整式的加减（原卷版+解析版）

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寒假作业03 整式的加减
一、整式的有关概念
单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
多项式：几个单项式的和叫做多项式．每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．常数项的次数为0．
整式：单项式和多项式统称为整式．注意：分母上含有字母的不是整式．
二、整式的加减
1合并同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．
合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
合并同类项的步骤：
（1）准确的找出同类项；（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果．
2去括号的法则
（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；
（2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变．
3整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项．
整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）合并同类项．
1．丹尼斯超市有一种橙子元/千克，有一种葡萄元/千克，李华买3千克这种橙子，4千克这种葡萄，共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【解析】买3千克这种橙子，4千克这种葡萄，共需元．故选D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．表示负数B．若，则
C．单项式的系数为D．多项式的次数是4
【答案】D
【解析】A、当时，，即表示正数，原说法错误，不符合题意；
B、若，则，原说法错误，不符合题意；
C、单项式的系数为，原说法错误，不符合题意；
D、多项式的次数是4，原说法正确，符合题意；
故选D．
3．下列去括号正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B．
4．若单项式与是同类项，则 ．
【答案】7
【解析】由与是同类项，
得，
解得，
故答案为：7．
5．已知：，则 ．
【答案】8
【解析】因为，所以，所以，故答案为：8．
6．已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值．
【解析】由题意得：
，，或，
当时，原式；
当时，原式．
7．计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
．
（2）
．
8．已知，，
(1)化简；
(2)当，时，求的值．
【解析】（1）因为，，
所以
；
（2）因为，，
所以．
9．如图，这是一套商品房的平面图（阴影部分）（单位：）．
(1)求这套房子的总面积（用含x、y的式子表示）；
(2)若，并且房价为每平方米万元，求购买这套房子共需要多少万元．
【解析】（1）这套房子的总面积；
（2）当时，
这套房子的总面积
．
（万元）．
所以购买这套房子共需要万元．
10．某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经过市场调查发现，有两种销售方式：
方式一：如果月末出售，可获利，但要付出仓储费用900元；
方式二：如果月初出售，可获利，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利．
若商场投资本金x元，回答下列问题：
(1)月末出售所获得的利润________元（用含x的最简代数式表示），月初出售所获得的利润为________元（用含x的最简代数式表示）；
(2)若商场投资本金20000元，请问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？
【解析】（1）由方式一可知月末出售所获得的利润为元；
由方式二可知月初出售所获得的利润为（元）．
故答案为：，；
（2）选择方式一销售：所获得的利润为（元）；
选择方式二销售：所获得的利润为（元）．
所以选择方式二销售获利较多，此时获利5200元．

11．已知，那么的值为 ．
【答案】
【解析】因为，
又因为，，
所以，，所以，，所以．
故答案为：．
12．三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2的方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知道一个图形的边长，这个图形是（ ）
A．整个长方形B．图①正方形C．图②正方形D．图③正方形
【答案】D
【解析】如图，设三个正方形①，②，③的边长分别为，，，
则阴影的一组邻边的边长分别为：，，
阴影的一组邻边的边长分别为：，，
所以图1阴影部分周长之和为，
则阴影的一组邻边的边长分别为：，，
所以图2阴影部分周长为，
所以，与③的边长有关，
故选D．
13．规定：，例如，当时，．已知的值为202，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以
．
故答案为：．
14．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【解析】（1）原式；
（2）原式，
当，时，原式．
15．已知多项式化简后不含项，求多项式的值．
【解析】
，
因为该多项式化简后不含项，
所以，
解得，
，
当时，原式．
16．老师写出一个整式：，其中a，b为常数，且表示为系数，然后让同学们给a，b赋予不同的数值进行计算．
(1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式．
(2)乙同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则乙同学给出a，b的值分别是多少？
(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
【解析】（1）当，时，
原式
；
（2）
，
因为原式，
所以，
解得；
（3）由（2）可知原式，
因为最后结果与x的取值无关，
所以，
所以丙同学的计算结果为．
17．嘉淇完成题目：化简：，发现系数“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成-1，化简；
(2)根据父亲提出的两个问题，请帮助嘉淇求出“□”的值．
①父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能求出“□”的值吗？
②父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出“□”的值吗？
【解析】（1）原式，
；
（2）①：将“□”看成常数，
原式，
，
由于这个问题的标准答案是常数，所以，即“□”的值为．
②：将代入得
所以，所以．
18．已知，．
(1)化简：；
(2)当时，求（1）代数式的值；
(3)试判断M，N的大小关系并说明理由．
【解析】（1）由题意知，
；
（2）将代入，原式；
（3），理由如下：
，
因为，所以，即．
19．某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如下表所示．
(1)在这5天中，第一天售出该种钢笔____支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔_______支；
(2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润；
(3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案：
方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元；
方案二：每支均打七五折销售．
在促销期间，若购买支钢笔，请用含x的式子分别表示两种方案的花费，若王老师在该文具店购买10支该种钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱．
【解析】（1）第一天售出该种钢笔（支）；
最多的一天为第5天，最少的一天为第4天，
所以（支），
故答案为：18；12；
（2）（元），
即该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元；
（3）①方案一：元．
方案二：元；
②当时，（元），
（元）．
因为，
所以应选择方案二购买更省钱．
20．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
(1)王老师一次性购物600元，他实际付款__________元．
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款__________元．（用含x的代数式表示）
【解析】（1）（元），
所以王老师一次性购物600元，他实际付款元，
故答案为：；
（2）当x小于500元但不小于200时，打九折，付款为：元，
当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，付款为：元，
故答案为：，．
21．图1是长为a，宽为1（a为常数，且）的小长方形纸片．将5张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为长方形①和②．如图2所示，长方形①水平方向的长度为x（x可以变化，且）．
(1)长方形②水平方向的长度为__________；
(2)把长方形①和②的周长分别记为，，试通过计算说明的结果与x的取值无关；
（提示：用含a，x的代数式表示，）
(3)把长方形①和②的面积分别记为，，若的值总保持不变，求a的值．
【解析】（1）设长方形②水平方向的长度为y，
则，
解得，
即长方形②水平方向的长度为．
故答案为：；
（2）由题意可知：，
则，
即的结果与x的取值无关；
（3），
则，
因为的值总保持不变，
所以，
解得，
即a的值为3．
22．如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为．
(1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是________（用含的代数式表示）．
(2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）．
(3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由．
【解析】（1）由图可知，每块小长方形较长边的长是，故答案为：；
（2）由图可知，阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
则阴影的周长为，
阴影的周长为；
（3）阴影与阴影的周长差为
，
所以阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化．
23．如图，在一条笔直的马路边有A，B，C，D四个小区，A，B和C，D之间的距离相等都为，B，C之间的距离为，现某学校计划建一个校车接送停靠点．
(1)若停靠点建在A小区，则四个小区到停靠点的路程总和为______（用含a的代数式表示）；
(2)若停靠点建在B，C之间（不含B，C），则四个小区到停靠点的路程总和为______（用含a的代数式表示）；
(3)若某学校的学生在A小区有5人，B小区有7人，C小区有8人，D小区有9人，为使所有学生步行到停靠点的路程和最小，则停靠点应设置在哪个小区？请说明理由．
【解析】（1）
，
故答案为：；
（2）设停靠点距离小区，则距离小区，
路程总和为：
，
故答案为：；
（3）停靠点设置在小区时，路程总和最小，理由如下：
停靠点在小区时：
，
停靠点在小区时：
，
停靠点在小区时：
，
停靠点在小区时：
，
因为，
所以，，
所以停靠点设置在小区时，路程总和最小．
24．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为（a为定值，且），C为数轴上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等．
(1)请在图中标出原点O与点C．
​
(2)点A到点C的距离为__________．（用含a的式子表示）
(3)P为数轴上一动点，其对应的数为x．
①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
②设点P到A，B，C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，求的值．
【解析】（1）因为数轴上A，B两点表示的数分别为，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，所以点C对应的数字为，
所以在图中标出原点O与点C的位置如图：
（2）点A到点C的距离为．
故答案为：．
（3）①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值．
理由：
因为P是B，C之间的一动点，
所以，
所以，，
所以．
所以当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值；
②因为动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A，
所以，
因为A，B两点表示的数分别为，点C对应的数字为，
所以，，
因为点P到A，B，C三点的距离之和为S，
所以
．
因为动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A，
所以当点P与点B重合时，，
所以S的最小值．
当点P与点A重合时，，
所以S的最大值，
所以．
25．福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下：
根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”，其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度．
小朋家9月电表示数变化情况如表：
(1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度．
(2)①计算小朋家这个月的普通电费．
②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？
(3)若某用户的月用电量为度，请用含的式子表示该用户这个月的普通电费．
【解析】（1）由表格可得：
第一档用电情况，高峰时段电价为：（元/度），
低谷时段电价为：（元/度），
故答案为：0.53，0.30；
（2）①由表格得：
小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度，
所以小朋家这个月的普通电费为：（元）；
②若申请“峰谷电价”，由表格可得：
（度），（度），
所以共需电费为：（元），
因为（元），
所以能省钱，共省钱20.36元；
（3）由表格及题意可得：
当时，普通电费为元；
当时，普通电费为：元；
当时，普通电费为：元．
26．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）观察下面两行数：
；
．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92B．87C．83D．78
【答案】C
【解析】 第一行的数字规律为：，第二行的数字规律为：，
第一行的第7个数字为：，第二行的第7个数字为：，
，故选C．
27．（2023·湖南常德·统考中考真题）若，则( )
A．5B．1C．D．0
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，故选A．
28．（2023·四川宜宾·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不是同类项，无法计算，不符合题意；
D、，不是同类项，无法计算，不符合题意；
故选B．
29．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因为，
所以，，，，…….；
由此可得规律：按2，，，四个数一循环，
因为，所以；故选A．
30．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A．B．mC．D．
【答案】D
【解析】第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
因为，
所以第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
所以这个和为，故选D．
31．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）
A．左上角的数字为B．左下角的数字为
C．右下角的数字为D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【解析】日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确；
故选D．
32．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为
__________公里．（用含x的代数式表示）
【答案】
【解析】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为．故答案为：．
33．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）当时，代数式的值为__________．
【答案】2
【解析】



当时，原式，
故答案为：．
34．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）．

【答案】
【解析】第1个图案中有4个白色圆片：，
第2个图案中有6个白色圆片：，
第3个图案中有8个白色圆片：，
第4个图案中有10个白色圆片：，
，
所以第个图案中有个白色圆片．
故答案为：．
35．（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ．
【答案】39
【解析】如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：
所以，故答案为：39．第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
每天售出的数量（支）
一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但不低于200元
九折优惠
500元或超过500元
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
月用电量
电费（单位：元/度）
第一档
不超过230度的部分
0.50
第二档
超过230度不超过420度的部分
0.55
第三档
超过420度的部分
0.80
示数类型
上次抄表示数
这次抄表示数
用电量
总电量
18776
19081
305
峰电量
12689
12882
谷电量
5480
5592
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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