安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4，共12页。试卷主要包含了如图，，则下列结论中正确的有，在平面直角坐标系中，对于点P等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列三角函数的值等于的是（ ）
A．cs30°B．tan30°C．cs45°D．sin30°
2．如图，直线，AB＝3，BC＝2，CD＝1，则下列式子中不成立的是（ ）
第2题图
A．EC:CG＝5:1B．EF:FG＝1:1C．EF:FC＝3:2D．EF:EG＝3:5
3．在菱形ABCD中，若对角线AC＝10，BD＝6，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，则下列结论中正确的有（ ）
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE．
第4题图
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．若函数和函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则坐标系的横轴可以是（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称P为“同号点”．下列函数的图像中，不存在“同号点”的是（ ）
A．y＝－x＋1B．C．D．
7．已知点，都在二次函数的图像上，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点A为边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，若用线段比表示的值，则下列选项中错误的是（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．已知点和在反比例函数的图像上，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A－C－D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A－B－C－D的方向运动，当其中一点到达点D时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（），则下列图中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
第10题图
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过□ABCD的两个顶点A，B，□ABCD的另外两个顶点C，D均在x轴的正半轴上，若□ABCD的面积等于9，则k的值为______．
第11题图
12．如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，AE:CE＝1:2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于______．
第12题图
13．如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接AB．已知抛物线．
第14题图
（1）当抛物线同时经过A，B两点时，h的值为______；
（2）若抛物线与线段AB有公共点，则h的取值范围是______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2），过点C作CD⊥x轴，垂足为点D．求证：∠ABC＝∠ACD．
第16题图
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为（3，－1），（2，1）．
第17题图
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形．
（2）分别写出点B，C的对应点，的坐标．
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M的对应点的坐标．
18．如图，在□ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE⊥BC于点E，，求的值．
第18题图
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，直线y＝－x＋4与坐标轴交于A，B两点，点M（2，m）在直线AB上，点N与点M关于y轴对称．
第19题图
（1）若点N在反比例函数的图像上，求k的值．
（2）若线段MN被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为1:3，求k的值．
20．某中学创客拓展小组研制的智能操作机器人如图1所示，水平操作台为l，底座AB固定且AB⊥l，其高度为50cm，连杆BC为70cm，手臂CD为60cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC和手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2所示，求手臂端点D离水平操作台L的高度DE的长（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33）．
（2）物品在水平操作台L上距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC和手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？如果能，请说明理由．
第20题图1 第20题图2
六、（本题满分12分）
21．在一次数学实践课上，老师出了这样一道题：如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是a，b，c，请用a，c，∠B表示．
（1）甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以过点A作AD⊥BC于点D，如图2所示；乙同学认为要想得到，便要利用Rt△ABD或Rt△ACD；丙同学认为要先求出AD＝______，BD＝______（用含c，∠B的三角函数表示）；丁同学顺着他们的思路，求出______（提示：）．
（2）请利用丁同学的结论解决下面的问题：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠A＜90°，AB＝5，AD＝4，．求四边形ABCD的面积．

第21题图1 第21题图2 第21题图3
七、（本题满分12分）
22．如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EFD＝90°，△DEF的顶点与△ABC的斜边AB的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段AC与线段EF相交于点Q，射线ED与射线BC相交于点P．
第22题图
（1）求证：△AEQ∽△BPE．
（2）求证：PE平分∠BPQ．
（3）当AQ＝2，，求PQ的长．
八、（本题满分14分）
23．已知点P（m，n）是抛物线上的一个动点，点A的坐标为（0，－3）．
【特例探究】
（1）如图1，直线l过点Q（0，－1）且平行于x轴，过点P作PB⊥l，垂足为点B，连接PA．
①当m＝0时，PA＝______，PB＝______；
②当m＝2时，PA＝______，PB＝______．
【猜想验证】
（2）对于m取任意一实数，猜想PA与PB的大小关系，并证明你的猜想．
【拓展应用】
（3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点C的坐标为（2，－5），连接PC，问PA＋PC是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第23题图1 第23题图2
九年级数学（沪科版）卷三
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
10．A 解析：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．
如图1，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于点E，
∴（cm），
∴（），D不正确；
如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4－2x）cm，作QF⊥AC于点F，
∴（cm），
∴，B不正确；
如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x－4）（cm），CP＝（x－2）（cm），
∴PQ＝CQ－CP＝2x－4－x＋2＝（x－2）（cm），作AG⊥DC于点G，
∴（cm），
∴，C不正确．
第10题图1 第10题图2 第10题图3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．1312．2413．或
14．（1） （2）
解析：（1）∵抛物线，∴对称轴为直线x＝h，当抛物线同时经过A，B两点时，抛物线的对称轴为直线，
∴．
（2）当抛物线经过点A时，则，解得或；当抛物线经过点B时，则，解得或．若抛物线与线段AB有公共点，则h的取值范围是．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式．
16．证明：∵A（3，0），B（0，4），C（4，2），CD⊥x轴，
∴OA＝3，OB＝4，AD＝4－3＝1，CD＝2，
∴，，，
∴，，，
在△ABC和△ACD中，，
∴△ABC∽△ACD，∴∠ABC＝∠ACD．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）如图
（2），
（3）
第17题图
18．解：在△ABE中，AE⊥BC，AB＝5，，
∴BE＝3，AE＝4，∴EC＝BC－BE＝8－3＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，∴CD＝EC，
∴△CED为等腰三角形，∴∠CDE＝∠CED，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠ADE，
在Rt△ADE中，AE＝4，AD＝BC＝8，，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）∵点M（2，m）在直线y＝－x＋4上，∴m＝－2＋4＝2，
∴点M（2，2），N（－2，2），
∵点N（－2，2）在反比例函数的图像上，
∴，解得k＝－4．
（2）∵点M（2，2），N（－2，2），∴MN＝4，
设线段MN与反比例函数的图像交于点C，
第19题图1 第19题图2
①如图1，当NC:MC＝1:3时，NC＝1，∴点C（－1，2），∴k＝－1×2＝－2；
②如图2，当MC:NC＝1:3时，CM＝1，∴点C（1，2），∴k＝1×2＝2；
故k的值为－2或2．
20．解：（1）如图1，过点C作CP⊥AE，垂足为点P，过点B作BQ⊥CP，垂足为点Q，
∵BA⊥AM，∴四边形ABQP是矩形，∴∠ABQ＝90°，PQ＝AB＝50cm，
∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝∠ABC－∠ABQ＝53°，
在Rt△BCQ中，BC＝70，∴（cm），
∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ＋QP＝56＋50＝106（cm），
∴手臂端点D离水平操作台l的高度DE为106cm．
（2）能，理由：如图2，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远的距离，
在Rt△ABD中，AB＝50cm，BD＝BC＋CD＝70＋60＝130cm，
∴（cm）
∵AM＝110cm，∴120cm＞110cm，
∴手臂端点D能碰到点M．
第20题图1 第20题图2
六、（本题满分12分）
21．（1），，
（2）如图，延长DC，AB交于点E，
∵AB＝5，AD＝4，，
∴由（1）中结论可知，
解得，∴∠A＝60°，
∵∠ADC＝90°，∴∠E＝30°，∵AD＝4，∴AE＝8，BE＝3，
根据，，得，，
∴四边形ABCD的面积．
第21题图
七、（本题满分12分）
22．（1）证明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝∠DEF＝45°，而∠PEB＋∠AEQ＝∠PEB＋∠BPE＝180°－45°＝135°，
∴∠AEQ＝∠BPE，
∴△AEQ∽△BPE．
（2）证明：∵△AEQ∽△BPE，，
∵AE＝BE，∴，
∵∠A＝∠DEF＝45°，∴△AEQ∽△EPQ，∴∠AEQ＝∠EPQ，
∵∠AEQ＝∠BPE，∴∠EPQ＝∠BPE，即PE平分∠BPQ．
（3）解：如图，过点E作EH⊥BP于点H，
第22题图
由题意可知，AQ＝2，，∠ACB＝90°，∴由勾股定理易得AC＝BC＝6，
∵∠B＝45°，，EH⊥BC，∴EH＝BH＝3，
∵△AEQ∽△BPE，∴，∴，
∴PH＝BP－BH＝9－3＝6，∴，
∵△AEQ∽△EPQ∽△BPE，∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23．解：（1）①1，1 ②2，2
（2）PA与PB相等．
设，则，
∵，，
∴PA＝PB．
（3）存在．如图，过点Q作QB∥x轴，过点P作PB⊥QB于点B，
第23题图
∵PB＝PA，∴PA＋PC＝PB＋PC，当点P，B，C共线时，PB＋PC最小，此时PC⊥QB，点P的横坐标为2，
当x＝2时，，
∴此时点P的坐标为（2，－3）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
C
C
B
C
D
A