人教版数学八下专题21.1 期末专项复习之二次根式十六大必考点（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29961" 【考点1 二次根式的概念】 PAGEREF _Tc29961 \h 1
\l "_Tc20975" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc20975 \h 3
\l "_Tc11775" 【考点3 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc11775 \h 4
\l "_Tc19509" 【考点4 同类二次根式的概念】 PAGEREF _Tc19509 \h 6
\l "_Tc31311" 【考点5 最简二次根式】 PAGEREF _Tc31311 \h 8
\l "_Tc13826" 【考点6 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc13826 \h 10
\l "_Tc20565" 【考点7 求二次根式中的参数值】 PAGEREF _Tc20565 \h 12
\l "_Tc31430" 【考点8 化简并估算二次根式的值】 PAGEREF _Tc31430 \h 14
\l "_Tc10789" 【考点9 二次根式中的规律探究】 PAGEREF _Tc10789 \h 16
\l "_Tc32546" 【考点10 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc32546 \h 20
\l "_Tc18765" 【考点11 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc18765 \h 24
\l "_Tc30741" 【考点12 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc30741 \h 28
\l "_Tc18899" 【考点13 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc18899 \h 30
\l "_Tc26761" 【考点14 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc26761 \h 34
\l "_Tc1547" 【考点15 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc1547 \h 37
\l "_Tc24647" 【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc24647 \h 43
【考点1 二次根式的概念】
【例1】（2022·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．
【详解】解：A、是二次根式，符合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、当x＜0时，无意义，不合题意；
D、x属于整式，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．
【变式1-1】（2022·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．B．－C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论．
【详解】解：A、的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；
B、时，－不是二次根式，故B错误；
C、是三次根式，故C错误；
D、时，不是二次根式，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如()是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．
【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）若a=5，则下列各式是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义进行判断．
【详解】A、当a=5时，3-a＜0，该式子不是二次根式，故本选项错误；
B、当a=5时，5-a=0，符合二次根式的定义，故本选项正确；
C、该代数式不是二次根式，故本选项错误；
D、该代数式不是二次根式，故本选项错误；
故选B．
【点睛】此题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【变式1-3】（2022·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若a，b为实数，且，则a+b的值为（ ）
A．±1B．4C．3或5D．5
【答案】C
【分析】首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解．
【详解】根据题意，得
解得
∴
∴或3
故答案为C．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题．
【变式2-1】（2022·广东惠州·八年级期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥－6B．x≤－6C．x>－6D．x＜－6
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x+6≥0，
解得，x≥-6，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式2-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数必须是非负数．
【详解】解：．是二次根式，被开方数大于，有意义，故本选项符合题意；
B．，被开方数小于，无意义，故本选项不符合题意；
C．，如果小于时无意义，故本选项不符合题意；
D．，如果小于时无意义，故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
【变式2-3】（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若，则______．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：有意义，
，
原等式变形为，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【考点3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简2的结果为（ ）
A．a﹣2bB．2a﹣bC．2b﹣aD．b﹣2a
【答案】C
【分析】先将原式化简为，再由a＜0，b＞0判断出，即可求解；
【详解】解：原式=
=
∵a＜0，b＞0，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，二次根式的定义，掌握相关知识并正确求解是解题的关键．
【变式3-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字母表示正数）
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的化简运算法则化简即可；
（2）先将根式中的式子提公因式，再化简即可；
（1）
解：原式=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键.
【变式3-2】（2022·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+．
【答案】3a﹣2b-1
【分析】根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1，推出a﹣b＞0，a﹣1＜0，根据二次根式的性质得出a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a），求出即可．
【详解】解：根据数轴可知：b＜﹣1＜0＜a＜1，
则a﹣b＞0， a﹣1＜0，
则原式＝a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a）
＝a﹣b+a﹣b﹣1+a
＝3a﹣2b-1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和数轴，注意：当a≥0时，a，当a≤0时，a．
【变式3-3】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：．
【答案】1
【分析】运用二次根式的性质进行化简，再合并即可．
【详解】由题意可知，
∴，
∴，
∴原式
=1
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
【考点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2022·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】B
【分析】先化简，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可．
【详解】A、 ，所以A选项错误；
B、，与 是同类二次根式，所以B选项正确；
C、，所以C选项错误；
D、 与不是同类二次根式，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式.
【变式4-1】（2022·全国·八年级单元测试）下面二次根式：①；②；③；④.化简后与可以合并的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】①=4，②=2，③=3；④=，化简后与被开方数相同的是：①③．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式4-2】（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式和能合并，则＝__．
【答案】5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．
【变式4-3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：
【答案】(1)3
(2)4
【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可；
(2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果．
（1）
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴4a-5=13-2a，
解得a=3；
（2）
解：∵a≤x≤2a，a=3，
∴3≤x≤6，
∴
=4．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键．
【考点5 最简二次根式】
【例5】（2022春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（ ）．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】①，②这两个不是最简二次根式，
③、④、⑤这三个均为最简二次根式；
故选：B．
【点睛】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题．
【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
是最简二次根式，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式定义，不含开得尽方的数，根号下不含分母或分母中不带根号．
【变式5-2】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值
【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式
解得：
∴符合题意
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
【变式5-3】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】解：，
所以是型无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
【考点6 比较二次根式的大小】
【例6】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】解：a=2019×2021-2019×2020
=（2022-1）（2022+1）-（2022-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2022+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2022-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．
【变式6-1】（2022·福建泉州·九年级统考期末）设M=，N=，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
【答案】C
【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．
【详解】解：∵M===1，
N==1，
∴M=N，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．
【变式6-2】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据作差法，分别比较与，与的大小，即可得到答案.
【详解】∵()-()=3-2=3-=->0，
∴，
∵()-()=-=-=>0，
∴，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.
【变式6-3】（2022秋·江西萍乡·八年级统考期末）若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 _________．
【答案】a＜b＜c
【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．
【考点7 求二次根式中的参数值】
【例7】（2022春·北京·八年级北京八中校考期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【答案】或或
【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如果是一个正整数，则整数的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【答案】A
【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【详解】解：∵是一个正整数，
∴，
∴，
∵为整数，
∴a的最小值为，
且时，符合题意，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键．
【变式7-2】（2022春·四川凉山·七年级统考期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果．
【详解】解：当等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义．
【变式7-3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是______.
【答案】
【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
【考点8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）估计的值应在（ ）
A．8到9之间B．9到10之间C．10到11之间D．11到12之间
【答案】A
【分析】根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：
=
=
∵，
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计的值应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的除法进行计算，然后估算的大小即可求解．
【详解】解：∵ ，
∵
∴
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式8-2】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，若以米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
【答案】9和10
【分析】先计算17里面有几个即可求解．
【详解】，
∵，
∴
∴这两个相邻整数是9和10．
故答案为：9和10．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出的大小是解题的关键．
【变式8-3】（2022春·八年级单元测试）观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：
第二个：
第三个：
第四个：…
（1）试写出第个式子（用含的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（1），该式子一定是二次根式，理由见解析；（2）在15和16之间．理由见解析．
【分析】（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将代入，得出第16个式子为，再判断即可．
【详解】解：（1），
该式子一定是二次根式，
因为为正整数，，所以该式子一定是二次根式
（2）
∵，，
∴.
∴在15和16之间．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
【考点9 二次根式中的规律探究】
【例9】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（ ）
A．B．C．9D．8
【答案】C
【分析】首先根据题意，得出一般规律，代入数字相加即可得解．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
……
第n个等式：，
∴
=
，故C正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．
【变式9-1】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)；
(2)
(3)．
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
【变式9-2】（2022秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）阅读材料：像，（），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：
(1)的有理化因式是___________；的有理化因式是___________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：，，，……，___________．
(3)利用上面的方法，请化简：___________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意及二次根式的乘法即可得出结果；
（2）根据题干中的例子，直接猜想求解即可；
（3）根据（2）中结论将式子化简变形求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴的有理化因式是，的有理化因式是
故答案为：，；
（2），
，
，
‥‥‥，
，
故答案为：
（3）
．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
【变式9-3】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下：
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第（是正整数）行，从左数第个数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第4行的最后一个数为：，即可得到第5行第一个数为：，从左到右，被开方数依次加1，即可得解；
（2）根据规律可知：第1行最后一个数是：，第2行最后一个数是：，第3行最后一个数是：，第4行最后一个数是：，
进而推出第行最后一个数，然后推导出第（是正整数）行，从左数第个数即可．
【详解】（1）解：由表格可知：第5行第一个数为：，
则第5行，从左到右依次是：，，，，，
∴第5行从左数第4个数：；
（2）解：由表格可知：第1行最后一个数是：，
第2行最后一个数是：，
第3行最后一个数是：，
第4行最后一个数是：，
∴第行最后一个数是：，
∴第行的第一个数是：，从左数第个数为：．
【点睛】本题考查数字规律探究．观察出被开方数是连续自然数，并且每一行的最后一个被开方数是所在行数乘以比行数大1的数，是解题的关键．
【考点10 复合二次根式的化简】
【例10】（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
【变式10-1】（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
【答案】(1)c>d
(2)md2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m