新疆乌鲁木齐市2023_2024学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份新疆乌鲁木齐市2023_2024学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数满足：(为虚数单位)，且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的模为（）
A. 5B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据条件求得，从而求得模长.
【详解】设，则，
即，，结合在第三象限，
解得，即，
故
故选：C
2. 已知集合，若，则实数的取值集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，根据，求实数的可能取值，由此可得结果.
【详解】集合，
又，，
所以，故实数a的取值集合为，
故选：C.
3. 某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.
【详解】由题意可知，三个年级共有(人)，
则高一抽取的人数为，
高二抽取的人数为，
高三抽取的人数为.
故选：B.
4. 已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的正负即可判断.
【详解】解：由图知，的定义域为，令时，或，
由为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，关于原点对称，
对A，当时，，，所以，故A错误；
对B，由图知，当时，，当时，
结合奇函数的对称性可得时的图象，故B正确；
对C，由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；
对D，由选项A和B的分析知，当时，，故D错误.
故选：B.
5. 已知点，是曲线上两点，且（为坐标原点），则
A. B. 1C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】将曲线化为极坐标方程，设，可将表示为的函数，可得答案.
【详解】解：将曲线化为极坐标方程得：，
可得，
由，可设,
可得==5，
故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.
6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围.
【详解】，
当，解得：，
由条件可知，
所以，解得：.
故选：D
7. 若，是第三象限的角，则（）
A. B. C. D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，是第三象限的角，先利用半角公式求得，然后代入求解.
【详解】因为为第三象限角，
所以可能为二､四象限角，
所以，
所以.
故选：D.
8. 已知等比数列，的前n项和为，若则（）
A. 6B. 5C. 8D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件求出等比数列的首项及公比，再借助通项公式即可得解.
【详解】设等比数列公比，依题意，，，
由得：，解得，
由得：，于是得，
则有，由得：，即，从而有，解得，
所以.
故选：D
二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为是底面圆周上的两个动点，则（）
A. 圆锥的侧面积为
B. 圆锥的母线长为2
C. 可能为等腰直角三角形
D. 面积的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，得高，确定圆锥轴截面的顶角的大小，计算侧面积，截面面积判断各选项．
【详解】设圆锥母线长为，由题意，，B正确；侧面积为，A错，
显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为，因此的顶角，不可能为直角三角形，C错；
轴截面面积为，因此面积的最大值为，D正确．
故选：BD．
10. 已知为抛物线上一动点，则（ ）
A. 准线为l：
B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C. 点P到直线距离的最小值等于
D. 的最小值为6
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB，利用抛物线的方程与性质即可判断；对于C，利用点线距离公式与二次函数的性质即可判断；对于D，将问题转化为动点到两定点的距离，再结合图像即可判断.
【详解】因为为抛物线上一动点，
抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，故A错误，B正确；
点到直线的距离为，
当时，，故C正确；
设点到准线的距离为，到准线的距离为，
则，故D正确.
故选：BCD.
11. 关于的方程，下列命题正确的有（）
A. 存在实数，使得方程无实根
B. 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根
C. 存在实数，使得方程恰有3个不同的实根
D. 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
【答案】AB
【解析】
【分析】
通过换元法，设，方程化为关于的二次方程的根的情况进行分类讨论.
【详解】设，方程化为关于的二次方程.
当时，方程无实根，故原方程无实根.
当时，可得，则，原方程有两个相等的实根.
当时，方程有两个实根，由可知，，.
因为，所以无实根，有两个不同的实根.
综上可知：A，B项正确，C，D项错误.
故选：AB
【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论思想.
12. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（）
A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为
B. 已知集合，，集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为
C. 甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断C选项；利用独立事件的概率乘法公式可得出、的等式，解出、的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，
则该生在前个路口不是红灯，第个路口是红灯，
由独立事件的概率乘法可知，所求概率为，A对；
对于B选项，由题意可得，，
因此，集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为，B错；
对于C选项，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，
从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为，C对；
对于D选项，由独立事件的概率公式可得，
解得，D错.
故选：AC.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知等腰三角形ABC底边长BC=,点D为边BC的中点,则_____
【答案】-3
【解析】
【详解】由题意可知，,
∴.
14. 一个正四棱台上、下底面的边长分别为a、b，高为，且侧面积等于两底面面积之和，则a、b、h的关系为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正棱台的性质，求得正四棱台的斜高，结合题意列出关系式，即可求解.
【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，
可得上、下底面面积为，
如图所示，取上、下底面正方形中心分别为，再取分别为的中点，
分别连接，过点作，
在直角中，可得，即斜高，
因为侧面积等于两底面面积之和，可得，
整理得，即，
可得，即，可得，
即的关系为.
故答案为：
15. 若圆平分圆的周长,则直线被圆所截得的弦长为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解
【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以
即,又,所以
到直线的距离
所以直线被圆所截得的弦长为
故答案为:6
16. 在区间上随机取一个数，则的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由，求得，结合长度比的几何概型的计算公式，即可求解.
【详解】因为，由，解得，则，
可得的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中正确求得不等式的解集是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
17. 设面积大小为，且.
（1）求的值；
（2）若，，求．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】(1)利用题意结合数量积的定义和三角形面积公式，可得；
(2) 利用(1)的结论有：，结合题意条件可以求解出，然后借助正弦定理可得.
【小问1详解】
设的三边长分别为，由，
得，得.
即，所以.
又，所以，故.
【小问2详解】
由和，得，
又，所以，得①.
又，
所以
在△中，由正弦定理，得，
即，得 ②.
联立①②，解得，
即.
18. 已知数列，.
（1）若数列是等比数列，且，求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，数列满足，当时，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）数列是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；
（2）数列是公差为的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，可得数列的通项，进而得到，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．
【详解】解：（1）数列是公比为的等比数列，
，，可得，，
解得，，
可得，；
（2）数列是公差为的等差数列，
，，可得，，
解得，，
则，
，
，
即
可得，
可得，
解得或（舍去）．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19. 近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（）求，，的值．
（）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数．
（）在（）中抽取的人中随机选派人作为领队，求所选派的人中第五组至少有一人的概率．
【答案】(1)；(2)第四、五、六组分别取的人数为人，人，人；(3).
【解析】
【分析】(1)补全频率分布直方图，由频率表中第五组数据同第五组总人数为，再结合频率分布直方图，能求出的值；(2)因为第四，五，六组喜欢骑车的人数共有人，利用分层抽样原理能求出第四，五，六组分别取的人数；(3) 设第四组人为：，，，，第五组人为：，，第六组人为：，利用列举法能求出抽取的人中随机选派人作为领队，即可求出所选派的人中第五组至少有一人的概率.
【详解】（）补全频率分布直方图（见图），
由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为，
再结合频率分布直方图：
可知，
所以，
第二组的频率为，所以．
（）因为第四、五、六组“喜欢骑车”的人数共有人，
由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为人，人，人．
（）设第四组人为：，，，，
第五组人为：，，第六组人为：．
则从人中随机抽取名领队所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中所选派的人中第五组至少有一人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，共11种
所以所选派的人中第五组至少有一人的概率为．
20. 如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.
（1）求证：平面;
（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】（1）在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，平面.
在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，∴平面.
过点与平面垂直的直线有且只有一条，∴与重合，又∵平面平面,∴与重合于AB，所以平面.
（2）设的中点为，连接，，
点为棱的中点，∴∥且=，
∥，∴∥，∴、、、四点共面，
∵∥平面，∴∥，
∴四边形是平行四边形，∴=，
∵为的中点且，
∴，∴==，
设梯形的高为，，
∴，∴，
∴,∴的正弦值为.
21. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）若，求弦的长度；
（2）求的轨迹方程；
（3）当，求的方程及的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）直线的方程为，的面积为
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可求得；
（2）设点，对点与点是否重合进行分类讨论，在点与点不重合时，由垂径定理结合向量垂直的坐标表示可求出点的轨迹方程；在点与点重合时，直接验证即可，综合可得出点的轨迹方程；
（3）设点，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出点的坐标，即可求得直线的方程，再求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
小问1详解】
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，由余弦定理可得.
【小问2详解】
解：设点，当点不与点重合时，即当且时，
由垂径定理可知，即，
设点，则，，
所以，，即；
当点与点重合时，点的坐标也满足方程.
故点的轨迹方程为.
小问3详解】
解：设点，则，
由题意可得，解得，即点，
，所以，直线的方程为，即，
，则直线的方程为，且，
点到直线的距离为，故.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
22. 已知函数，其中.
（1）若在处的切线与轴的交点为，求的值；
（2）设函数，当时，试讨论的单调性.
【答案】（1）；（2）函数在上单调递增，在上单调递减
【解析】
【分析】（1）本题首先可通过函数解析式得出，然后通过求导得出，并写出在处的切线方程，最后通过切线与轴的交点为即可得出结果.
（2）本题可根据题意得出，然后构造函数，通过导函数求函数的最值从而得出，最后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
则在处的切线方程为，即，
因为切线与轴的交点为，所以，解得.
（2）因为，所以，
则，
当时，，
构造函数，则，
即当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
当时，函数取最小值，，
即当时，，，，
因为，
所以当，，函数在上单调递增；
当，，函数在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数得出是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题.
组号
分组
赞成投放的人数
赞成投放的人数占本组的频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组