天津市武清区2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析

这是一份天津市武清区2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.
1. 直线的倾斜角为（）
A. 45°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.
【详解】的斜率为，设倾斜角为，
则，故.
故选：B
2. 已知空间向量则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可.
【详解】由题意可知，，.
故选：A
3. 圆的圆心和半径分别为（）
A. ，2B. ，C. ，2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可.
【详解】由可得，，
所以圆心为，半径为，
故选:B.
4. 如图，在平行六面体中，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.
【详解】解：，又因，，
∴，
∴，，，
故选：A.
5. 已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（）
A. 2x+y-5=0B. x+2y-4=0
C. x-2y=0或x+2y-4=0D. x-2y=0或2x+y-5=0
【答案】C
【解析】
【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解.
【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：，
因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：；
当截距不为0时，设直线方程为，
因为直线过点（2，1），所以，则，
所以直线方程为，即，
综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0，
故选：C
6. 已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（）
A. 2B. C. 2或D. 2或0
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共面定理即可.
【详解】若,,共面,则，
所以，解得.
故选：A
7. 若直线l与直线x+2y=0垂直，且与圆相切，则l的方程为（）
A. x+2y-8=0B. x+2y+2=0C. 2x-y-1=0D. 2x-y-10=0
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，设出直线l的方程，再结合相切，点到直线的距离等于圆的半径求解即可.
【详解】因为直线l与直线x+2y=0垂直，
所以可设直线l方程为，
因为直线l与相切，
则有，即或，
所以直线方程为或，
故选：C.
8. 已知两点，，直线与线段有公共点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得直线恒过点.然后求出直线的斜率，结合图象，即可得出答案.
【详解】直线可化为，
由可得，，所以直线恒过点.
，，
如图可知，直线的倾斜角介于直线倾斜角与直线的倾斜角之间.
所以当时，有；
当时，有.
又直线的斜率为，
所以，或.
故选：D.
9. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线对称点Q在圆上，则r的取值范围是（）
A. (2，+∞)B. [2，+∞)C. (2，8)D. [2，8]
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆关于对称的圆的方程，转化为此圆与有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.
【详解】圆心坐标，
设关于直线的对称点为，
由，可得，
所以圆关于直线对称圆的方程为，
则条件等价为：与有交点即可，
两圆圆心为，，半径分别为，3，
则圆心距，
则有，
由得，由得，
综上：，
所以r的取值范围是，
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 经过两点的直线的方向向量为，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】方向向量与平行，由此可得．
【详解】由已知，是直线的方向向量，则，
故答案为：2.
11. 若直线是圆的一条对称轴，则实数a的值为_____________ .
【答案】
【解析】
【分析】根据直线为圆对称轴知直线过圆心求解.
【详解】圆的圆心为，
由题意，直线过圆的圆心，
所以，解得.
故答案为：
12. 已知空间向量且与相互垂直，则实数λ的值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ.
【详解】因为与相互垂直，
所以,
所以.
故答案为:
13. 已知两条平行直线则l₁与l₂间的距离为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两平行线间的距离可求解.
【详解】由题意得：直线，
直线可化简为：，
所以两平行线间的距离为：.
故答案为：.
14. 已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算
【详解】易知，所以点P到直线l距离为.
故答案为：
15. 已知直线与交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值____________.
【答案】（任意一个也对）
【解析】
【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线距离，根据垂径定理得到弦长，根据面积得到方程，求出或，进而求出实数m的值.
【详解】的圆心为，半径为，
则圆心到的距离为，
则，
故，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得，
故或
故答案为：（任意一个也对）
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知点，，O为坐标原点，向量
（1）求向量的单位向量
（2）求
（3）求
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出模长，进而利用得到答案；
（2）计算出，得到模长；
（3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.
【小问1详解】
由已知得：，则，
因此；
【小问2详解】
因为，
所以，
则.
【小问3详解】
因为，所以，
则
17. 已知的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点坐标写出直线方程即可.
（2）根据斜率求出高线斜率，再根据过点，可求出边AB上的高所在直线的方程.
【小问1详解】
直线的斜率为，
直线的方程为，
即.
【小问2详解】
由（1）知直线的斜率为，
所以由垂直关系可得边高线的斜率为，
因为上的高过点，
所以上的高线方程为,
化为一般式可得：.
18. 如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，
（1）求证:
（2）求直线EF与AB所成角的余弦值；
（3）求平面PAC与平面PBC夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
分析】（１）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解；
（２）利用空间向量可求出两直线和所成的余弦值；
（３）利用空间向量可求出平面和平面的夹角大小.
小问1详解】
证明：以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则：，，，，
，
，
所以：，即：，
所以：.
【小问2详解】
由（1）可得：，
所以：
所以：直线与所成角的余弦值为：.
【小问3详解】
由（1）可得：，，，，
设平面的一个法向量为：，
则得：，令，得，所以：，
设平面的一个法向量为：，
则得：，令，得：，所以：，
所以：，
所以：平面与平面夹角为：.
19. 已知圆C过点A(8，-1)，且与直线相切于点B(3， 4).
（1）求圆C的方程;
（2）过点P(-3，0)的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求的方程.
【答案】19.
20. 或
【解析】
【分析】（1）根据题意中设圆心，分别求出过圆心与切点的直线斜率，且圆过点，利用，从而求解.
(2)根据题意设出过点的直线，然后利用圆心到直线的距离建立等式，从而求解.
【小问1详解】
设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以：，
设分别代表直线，的斜率，所以有：，
由题意得：，所以有：，
结合，并联立得：，
解之得：，
所以：圆的半径，
所以：圆的方程为：.
【小问2详解】
因为为直角三角形且，所以，
圆心到直线的距离：，
易知直线的斜率存在，记为，又直线过点，
设直线方程的方程为：，
即：，
因为圆心到直线的距离为：，
整理得：，解之得：或，
所以直线方程的方程为：或.
20. 如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点.
（1）若求证：平面DMF；
（2）求直线EB与平面DMF所成角的正弦值；
（3）若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行判断定理结合空间向量法证明；
（2）空间向量法求线面角即可；
（3）根据点到平面空间向量法求参.
【小问1详解】
因为，，平面，
而平面，所以，，
因此以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为且，且，，
所以， ，，， ，，，，
因为，所以
所以
设为平面的法向量，，，
则，不妨令，可得；
所以，得，
又直线平面，平面．
【小问2详解】
由（1）知平面的法向量为
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
设点坐标为，则，
由（1）知平面的法向量为
点到平面的距离
解得，