山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知平面的一个法向量为,直线l的一个方向向量为,若,则( )
A.B.C.1D.2
2．抛掷两枚质地均匀的硬币一次,设“第一枚硬币正面朝上”为事件A,“第二枚硬币反面朝上”为事件B,则下述正确的是( ).
A.A与B对立B.A与B互斥
C.D.A与B相互独立
3．已知圆M经过,两点,且圆心M在直线,则圆M的标准方程是( )
A.B.
C.D.
4．甲、乙二人下围棋,若甲先着子,则甲胜的概率为0.6,若乙先着子,则乙胜的概率为0.5,若采取三局两胜制（无平局情况）,第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子,以后每局由上一局负者先着子,则甲通过前两局获得胜利的概率( )
A.0.5B.0.6
5．在正方体中,E是棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
6．若直线l与圆,圆都相切,切点分别为A、B,则( )
A.B.C.D.
7．已知点,.若直线与线段无公共点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在棱长为1的正方体中,E,F分别是,的中点,则直线到平面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知事件A,B发生的概率分别为,则下列说法正确的是( )
A.
B.若A与B互斥,则
C.若A与B相互独立,则
D.若,则A与B相互独立
10．在平面直角坐标系中,已知圆与圆,P,Q分别为圆O和圆M上的动点,下列说法正确的是( )
A.过点作圆M的切线有且只有一条
B.若圆O和圆M恰有3条公切线,则
C.若的最小值为1,则
D.若,则直线的斜率的最大值为
11．已知正方体的棱长为2，如图，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是( )
A.直线与平面所成角的正弦值范围为
B.当点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C.当点M为的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形
D.已知N为的中点，当的和最小时，则
三、填空题
12．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度最小值为________.
13．已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为________.
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为,动点满足,当P、A、B不共线时,面积的最大值是________.
四、解答题
15．口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
（2）请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平.
16．已知直线l过定点
(1)若到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于两点，求（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程.
17．如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,E是的中点.
（1）求证:平面;
（2）已知点F在棱上,且直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.
18．已知点Q为圆上的动点,点,延长至点S使得Q为的中点.
（1）求点S的轨迹方程.
（2）过圆M外点P向圆M引两条切线,且切点分别为A,B两点,求最小值.
（3）若直线与圆M交于D,E两点,且直线,的斜率分别为,,则是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
19．空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:,,分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴､z轴）正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组相对应,称向量的斜60°坐标为,记作.
（1）若,,求的斜60°坐标;
（2）在平行六面体中,,,,N为线段的中点.如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①求的斜60°坐标;
②若,求与夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,所以,解得.
故选:B
2．答案：D
解析：由题意可得,抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),
则事件A包含的结果有:(正,正),(正,反),事件B包含的结果有:(正,反),(反,反),
显然事件A,事件B都包含“(正,反)”这一结果,即事件A,事件B能同时发生,
所以,事件A,事件B既不互斥也不对立,故AB错误.
又因为,,而,,
所以,,故C错误,D正确.
故选:D
3．答案：C
解析：设圆心M的坐标为.
因为圆心M在直线上,所以①,
因为P,Q是圆上两点,所以,根据两点间距离公式,
有,即②,
由①②可得,.所以圆心M的坐标是）,圆的半径.
所以,所求圆的标准方程是.
故选:C.
4．答案：D
解析：由题意,
第一局甲先着子,甲前两局获胜的概率为,
第一局乙先着子,甲前两局获胜的概率为,
故甲前两局获胜的概率为.
故选:D.
5．答案：A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,
则,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,
令,则,所以,
设直线与平面所成角为,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选:A.
6．答案：C
解析：如下图所示,设直线l交x轴于点M,
由于直线l与圆,圆都相切,切点分别为A、B,
则,,,
,为的中点,为的中点,,
由勾股定理可得.
故选:C.
7．答案：A
解析：由,得,
所以直线l的方程恒过定点,斜率为.
因为,,
所以,.
如图所示,
由图象可知,,即时,直线与线段无公共点,
所以实数m的取值范围为,
故选:A.
8．答案：D
解析：如图建立空间直角坐标系,则,,,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,令,则,
因为,平面,平面,
所以平面,所以直线到平面的距离即为点B到平面的距离,
所以直线到平面的距离为.
故选:D.
9．答案：CD
解析：对于A选项,若,则,所以,A错误;
对于B选项,若A与B互斥,则,B错误;
对于C选项,若A与B相互独立,则,
所以,,C正确;
对于D选项,若,且,
所以事件A与相互独立,则事件A与B相互独立,D正确;
故选:CD.
10．答案：BD
解析：由圆,可得圆心为,半径为,
圆,可得圆心为,半径为r,
对于A中,由点在圆M外,所以过点的切线有2条,所以A不正确;
对于B中,若圆O和圆M恰有3条公切线,则圆O和圆M相外切,
所以,即,解得,所以B正确;
对于C中,当圆O和圆M外离时,可得的最小值为,此时;
当圆O和圆M内含时,可得的最小值为,此时,所以C不正确;
对于D中,当时,则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率,
如图所示,,且,所以,
在直角,可得,所以,
即直线PQ的斜率的最大值为,所以D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：对于A选项，以点D为坐标原点，
，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，则点、、
设点，
平面，则为平面的一个法向量
且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，当M与重合时，
连接，，，
在正方体中，平面，
平面，，
∵四边形是正方形，则，
，，平面，
平面，
平面，
，同理可证，
，，平面，
平面，
易知是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为.
分别取棱,,,,,的中点E，F，Q，N，G，H
易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形EFQNGH的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，
它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，
点，，
平面，平面，
，
即，得，，
所以，点E为棱的中点，
同理可知，点F为棱的中点，
则，，
而，
，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，
，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，
如下图所示：
若最短，则A，M，N三点共线，
，
，
又，
，D选项正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意得直线过定点，
圆圆心为，半径为，
连接，当直线l与垂直时弦长最小，
此时，
所以AB长度最小值为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,,则,,
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为:.
14．答案：
解析：以经过A、B的直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
则、,设,因为,所以,
两边平方并整理得:,即,
所以面积的最大值是.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）这种游戏规则不公平
解析：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件A.
甲编号为x,乙编号为y,表示一个基本事件,
则两人摸球结果包括,,,…,,,,共25个基本事件;
A包括的基本事件有,,,,共5个.
.甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.
（2）这种游戏不公平.
设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件.甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个:,,,,,,,,,,,,.
所以甲胜的概率为,
乙胜的概率为,
,这种游戏规则不公平.
16．答案：(1)或
(2)最小值为12，直线l的方程为.
解析：(1)当直线l斜率不存在时，
由过得，满足Q到l的距离为3，
当直线l斜率存在时，设直线方程为即，
点到直线l的距离为，解得.
此时直线的方程为即，
综上所述，所求的直线方程为或.
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于两点，
则设直线l为，，则
，
当且仅当时取等号，
故面积的最小值为12，此时直线l的方程为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）或
解析：（1）连结,交于点O,连结,
点E是的中点,点O是的中点,
所以,平面,平面,
所以平面;
（2）如图,以向量,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系
,,,
则,,
设平面的法向量,
则,令,,,
所以平面的法向量,
,,,
,
设直线与平面的夹角为,
则,
解得或,
又,
则或
18．答案：（1）
（2）
（3）的值为定值,且定值为
解析：（1）设,动点,
由中点的坐标公式解得,,
又在圆上,可得,即可得,
点S的轨迹方程是.
（2）设.则,
,,
所以:
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以最小值为.
（3）如下图所示:
联立方程组,得,
设,,则,
,
故的值为定值,且定值为.
19．答案：（1）
（2）①;②
解析：（1）由,,
知,,
所以,所以;
（2）设,,分别为与,,同方向的单位向量,
则,,,
①,
.
②因为,所以,
则,
,.
,
,
所以与的夹角的余弦值为