江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中学业质量监测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则实数( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．在中，，，则( )
A.B.C.D.
4．函数的极大值为( )
A.-4B.0C.1D.4
5．在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则( )
A.1B.C.D.2
6．曲线与的交点中，与y轴最近的点的横坐标为( )
A.B.C.D.
7．在中，，，，.若，则( )
A.B.C.D.
8．在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为( )
A.B.2C.D.3
二、多项选择题
9．在空间中，设a，b，c是三条直线，，，是三个平面，则下列能推出的是( )
A.，
B.，，
C.，，，
D.，，，
10．已知函数，则( )
A.的最大值为1B.是曲线的对称中心
C.在上单调递减D.的最小正周期为
11．设为R上的增函数，满足：，，则( )
A.B.为奇函数
C.，D.，
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，曲线上的两点A，B满足，线段的中点M在x轴上，则点M的横坐标为___________.
13．已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为___________.
四、双空题
14．已知函数的一个单调减区间为，则___________，___________.
五、解答题
15．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若的面积为，周长为6，试判断的形状
16．设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.
(1)能否为正三角形？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；
(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：.
17．如图，在三棱锥中，平面，D是的中点，平面平面，且.
(1)求点A到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值
18．已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线过原点，求a；
(2)当时，证明：；
(3)若在上单调递增，求a的取值范围
19．如果数列，，，…，是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列
(1)写出所有满足的数列；
(2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个；
(3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值
参考答案
1．答案：B
解析：因为，
若，
即，
可得，
解得.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意可知，
所以，
则.
故选：A
3．答案：B
解析：因为，，
可知，
则，
且，
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：，
令，则，
令，则或，
所以在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值.
故选：D
5．答案：C
解析：取的中点D，连接，
因为，
则，，
且，，平面，
可得平面，
又因为平面，
所以平面平面，
且平面平面，
由面面垂直的性质可知：点P在平面内的投影落在直线上，
且，可知点P在平面内的投影落在线段内，
又因为与平面所成角的大小为，则，
可知为等边三角形，所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：由，
可得，
即，
则，
则，
即，
故取最小值时，.
故选：B
7．答案：C
解析：因为，，
所以，
又，
所以，
则，
解得：，.
故选：C
8．答案：B
解析：分别取靠近B的三等分点N，
取靠近D的三等分点M，
取靠近的三等分点Q，
连接，，，，，，，
建立如下图所示空间直角坐标系，
不妨设，
所以，，，
所以，
所以，
且C，N，M，Q不共线，
所以C，N，M，Q共面，
又因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，且，
所以平面，
较小部分的几何体如下图所示，
其体积为，
由正四棱柱结构特点易知平面，
平面，
所以，
所以较大部分体积，
所以较大部分与较小部分的体积比为2，
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于选项A，如图，在正方体中，
取直线为a，直线为b，直线为c，
显然有，，
但，所以选项A错误，
对于选项B，由线面平行的性质可知，选项B正确，
对于选项C，如图，在正方体中，取平面为，
平面为平面，平面为，
显然满足，，
又，，
且，即a，b相交，所以选项C错误，
对于选项D，因为，则，
又，则，，又，
显然有，所以，
又，，
所以，故选项D正确，
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：由题意可知：的定义域为R，
对于选项A：因为，
则，
且，所以的最大值为1，故A正确；
对于选项B：因为，
即，
所以是曲线的对称中心，故B正确；
对于选项C：因为，
且在R上连续不断，
所以在上不单调，故C错误；
对于选项D：因为，
由选项B可知，
可得，即，
则，
可知为的一个周期，
若，则，
可得，
当，则，，
此时，
可知对任意，，
即，
所以a不为的一个周期；
综上所述：的最小正周期为，故D正确；
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于选项A，因为，
令，得到，
又，令，
得到，所以，故选项A正确，
对于选项B，因为，
得到，
所以，
又，
所以，
又由
可得，
所以，
又的定义域为R，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，故选项B正确，
对于选项C，因为，令，
得到，由选项A知，
又由选项B知，
且为奇函数，则当时，，
所以当时，不存在，使成立，
当，因为为R上的增函数，
则（其中表示不超过x的最大整数），
所以选项C错误，
对于选项D，令，则，
由，得到，
所以当时，，
当时，，
即在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，
即，当且仅当时取等号，
由选项B知，
又为R上的增函数，
所以，
当且仅当时取等号，故选项D正确，
故选：ABD.
12．答案：
解析：设，
则，
若，
则，
又因为线段的中点M在x轴上，
则，
可得，即，
则，
解得，即或，
即可得或，
所以点M的横坐标为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，
所以，
又
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
14．答案：2；
解析：由题意，周期，
所以，
此时，
当时，可得，
则，
解得，
又，所以.
故答案为：2；.
15．答案：(1)
(2)等边三角形
解析：(1)由正弦定理，
可化为
又中，,
则上式可化为，
又中，，则，
则上式可化为，
即，
则，
又，
则，故
(2)由，可得，
又由，可得，
则
可化为，
整理得，
又由，则，
可化为，
解之得，
则，解之得，
则的形状为等边三角形
16．答案：(1)能，或；
(2)证明见解析
解析：(1)设，因，则.
又由题可得的焦点为，
准线为.
则P在l上的射影H为.要使为正三角形，
则应满足HP中点M纵坐标为1，
且.
即，
即当或时，
能使为正三角形；
(2)由题可得满足.
注意到，
则点处的切线斜率为：，
则相应切线为：.
代入，可将切线方程化简为：.
令，可得.
又，
则，
得，
又，则.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)如图，作于点H，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
所以点A到平面的距离为.
(2)由(1)，平面，平面，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
，所以平面，
又，，所以，
如图，以点A为坐标原点，过点A垂直于的为x轴，
，分别为y，z轴的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
，
又平面，且，
设平面与平面的夹角为，
，
.
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)证明见详解
(3)
解析：(1)因为，
则，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
若切线过原点，则，
解得.
(2)若，则，
构建，
则，
令，
则，
即恒成立，则在R上单调递增，且，
当时，，即；
当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以.
(3)若在上单调递增，
当，则在上单调递增，符合题意；
当，则在上单调递增，符合题意；
当，由(1)可知：，
则在上恒成立，
设，则，
且，则，解得，
若，可知在上单调递增，
则，
可知在上单调递增，
则，符合题意；
综上所述：a的取值范围为.
19．答案：(1)1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7.
(2)证明见解析；
(3)13.
解析：(1)由题可得，
令，为使任意连续三项的和都能被3整除，
则或；
令，则；令，
则不存在满足题意；，则.
综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；
1，3，5，7；，1，5，6，7；
(2)证明：设这样的数列对应的公比为q，
则相应的四项，从小到大排列为1，q，，
要使任意连续三项的和都能被3整除，
则，能被3整除，
即被3整除即可
考虑集合，当时，
一定能被3整除，
因中的元素有无穷多个，
则存在数列是等比数列，且有无穷个；
(3)设，，
因，都能被3整除，
，则.
若，因，都能被3整除，则；
则要使能被3整除，有.
令，，为使最小，
应让，，间的差值最小，
则，，
又，则，
即当时，最小值为5；
若，因，都能被3整除，则；
结合，则要使能被3整除，有.
令，，
为使最小，应让间的差值最小，
则，，
又，则，
即当时，最小值为13；
若，因，都能被3整除，则；
结合，则要使能被3整除，有.
令，，为使最小，
应让，，间的差值最小，
则，，
又，则，
即当时，最小值为9.
综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，
整数t的最小值是13.