人教版数学九下期末复习讲练专项10 锐角三角函数实际应用-母子型（2份，原卷版+解析版）

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特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高
1．（2021春•丽水月考）如图，小梦要测量学校旗杆的高度BD，在点A处测得∠BAD＝45°，在点C处测得∠BCD＝60°．已知AC＝8米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度BD为（ ）
A．（4+4）米B．（7+7）米C．（14+14）米D．（4+12）米
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°．
∴BD＝AD．
在Rt△CBD中，
∵tan∠BCD＝＝tan60°．
∴CD＝＝＝BD．
∵AC＝AD﹣CD，
∴BD﹣BD＝8．
∴BD＝
＝
＝12+4．
故选：D．
2．（2021秋•城阳区校级期中）如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（ ）米．
A．2B．4C．2D．6
【答案】A
【解答】解：设CD＝x米，BD＝y米，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2﹣CD2，即y2＝42﹣x2，
在Rt△BAD中，BD2＝AB2﹣AD2，即y2＝（4）2﹣（x+4）2，
∴42﹣x2＝（4）2﹣（x+4）2，
解得：x＝2，即CD＝2米，
故选：A．
3．（2021春•怀化期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了28米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树的高度是 ．
【答案】14米
【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝28（米），
又∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝14（米），
∴树的高度为14米．
故答案为：14米．
4．（2022•武昌区模拟）如图，某河段的两岸平行，小明在一侧河岸的A点观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小刚在距离A点80米的B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算出河宽为 米（≈1.414，≈1.732，精确到个位）．
【答案】109
【解答】解：过点C作CE⊥DB，垂足为E，
设CE＝x米，
在Rt△CEA中，∠CAE＝45°，
∴AE＝＝＝x（米），
∵AB＝80米，
∴BE＝AE+AB＝（x+80）米，
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x≈109，
经检验：x≈109是原方程的根，
∴河宽约为109米，
故答案为：109．
5．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（ ）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cs67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
A．2.4B．2.2C．3.0D．2.7
【答案】B
【解答】解：设BC＝xm，
∵AB＝2m，
∴AC＝（x+2）m，
∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°
∴tan∠OBC＝tan67°≈，tan∠OAC＝tan37°≈，
∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈（x+2），
∴x＝（x+2），
解得：x＝，
∴OC≈x＝≈2.2m，
故选：B．
6．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28mB．34mC．37mD．46m
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°＝，
∴BD＝≈（m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+）m，
∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
故选：C．
7．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：设AB＝x，
在Rt△ABD中，tanβ＝，
∴BD＝，
∴BC＝BD+CD＝a+，
在Rt△ABC中，tanα＝，
解得x＝．
故选：D．
8．（2022春•茅箭区校级月考）某人为了测量塔DE的高度，他在山下与山脚B在同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进30米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么塔DE的高度是（ ）
A．（15+5）mB．（15﹣5）mC．（30+10）mD．（30﹣10）m
【答案】C
【解答】解：设BC＝x米，
在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，
∴DC＝BC•tan60°＝x（米），
∵AB＝30米，
∴AC＝AB+BC＝（30+x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴tanA＝＝＝1，
∴x＝15+15，
经检验：x＝15+15是原方程的根，
∴BC＝（15+15）米，DC＝x＝（45+15）米，
在Rt△EBC中，∠EBC＝30°，
∴EC＝BC•tan30°＝（15+15）×＝（15+5）米，
∴DE＝DC﹣CE＝（30+10）米，
故选：C．
9．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（ ）
A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°
【答案】C
【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故选：C．
10．（2022•武汉模拟）如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是 米（≈1.73，结果精确到0.1米）．
【答案】6.9
【解答】解：由题意得EF＝BD＝1.5米，
∵ME＝7.5米，
∴FM＝6米，
在Rt△CFM中，∠FCM＝60°，
tan60°＝，
解得CF＝2，
在Rt△DFM中，∠MDF＝30°，
tan30°＝，
解得DF＝6，
∴CD＝DF﹣CF＝6﹣2≈6.9（米），
∴AB＝CD＝6.9米．
故答案为：6.9
11．（2022•西青区一模）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度，他们在C处仰望建筑物顶端
A测得仰角为37°．再往建筑物的方向前进9m到达D处，测得建筑物顶端A的仰角为63°，求建筑物AB的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m）．
参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.8．sin63°≈0.9，cs63°≈0.5，tan63°≈2.0．
【解答】解：设BD＝xm，AB＝ym，
在Rt△ADB中，tan63°＝≈2，
∴y≈2x，
在Rt△ACB中，tan37°＝≈0.8，
即≈0.8，
∴y≈0.8（9+x），
∴
解得：，
∴AB的高度约为12m，
答：建筑物AB的高度约为12m．
12．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）
【解答】解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG＝＝x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝4+4，
经检验：x＝4+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
13．（2022春•长沙期中）长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度为1：，在D处测得山顶A的仰角为45°．
（1）求∠DBC的大小；
（2）求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵步行道BD的坡度为1：，
∴tan∠DBC＝＝＝，
∴∠DBC＝30°；
（2）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，
∴DE＝BD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AD＝AF＝70（米），
答：电动扶梯DA的长为70米．
14．（2022•平定县模拟）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM长为0.9m，该运动员大腿EF长为0.4m，且其上半身GF长为0.8m，∠EMD＝35°．
（1）求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角∠GFE的度数；
（2）求此刻运动员头部G到斜坡AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，）
【解答】解：（1）连接GE，
∵EF∥AB，ED⊥AB，G，E，D三点共线，
∴∠GEF＝∠EDM＝90°，
∵EF＝0.4m，GF＝0.8m，
∴cs∠GFE＝＝，
∴∠GFE＝60°；
（2）由（1）得∠GFE＝60°，
在Rt△GFE中，GE＝GF•sin∠GFE＝×＝≈0.69（m），
在Rt△EDM中，∠EMD＝35°，EM＝0.9m，
∴ED＝EM•sin∠EMD＝0.9×sin35°≈0.51（m），
∴GD＝GE+ED≈0.69+0.51＝1.2（m），
答：此刻运动员头部G到斜坡AB的高度约为1.2m．
15.（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
【解答】解：延长EF交DC于点H，
由题意得：
∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，
设FH＝x米，
∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，
在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，
∴DH＝FH•tan45°＝x（米），
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，
∴tan34°＝＝≈0.67，
∴x≈30.5，
经检验：x≈30.5是原方程的根，
∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），
∴拂云阁DC的高度约为32米．
16．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．
（Ⅰ）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）；
（Ⅱ）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差．
参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥MP，交MP的延长线于点E，连接BC并延长，交AE于点D．
则CD⊥AE，BM＝CN＝DE＝1.6m，BC＝MN＝16m，∠ABC＝22°，∠ACD＝45°，
设AD＝xm，则CD＝xm，BD＝（16+x）m，
在Rt△ABD中，
tan22°＝≈0.40，
∴x≈10.7m，
∴AE＝AD+DE＝10.7+1.6＝12.3（m）．
即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．
（2）12.6﹣12.3＝0.3（m）．
∴本次测量结果的误差为0.3m．
17．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（m），
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AC•cs∠ACD＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），
∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，
∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），
∵4＜5，
∴货物MNQP需要挪走．
18．如图，学校一幢教学楼AB的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC，小同在M点用测倾器测得宣传牌的底部A点的仰角为31°，他向教学楼前进7米到达N点，测得宣传牌顶部C点的仰角为45°，已知广告牌AC的高度为3米，测倾器DM＝EN＝1.5米，点B、M、N在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.61）
【解答】解：连接DE并延长交AB于F，
∵DM⊥MB，EN⊥MB，
∴DM∥EN，
∵DM＝EN，
∴四边形DENM是矩形，
∴DE∥MN，
∴DE⊥BC，
设AF＝xm，
∴CF＝1.5+x，
在Rt△FCE中，
∵∠CEF＝45°，
∴FE＝CF＝1.5+x，
∴DF＝7+3+x＝10+x，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝＝≈0.61，
∴x≈15.6，
∴AB＝AF+FB＝15.6+1.5≈17，
答：教学楼AB的高度是17米．
19．（2021•潍坊）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
【解答】解：设每层楼高为x米，
由题意得：MC′＝MC﹣CC′＝2.5﹣1.5＝1（米），
∴DC′＝（5x+1）（米），EC′＝（4x+1）（米），
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴C′A′＝＝（5x+1）（米），
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，
∴C′B′＝＝（4x+1）（米），
∵A′B′＝C′B′﹣C′A′＝AB，
∴（4x+1）﹣（5x+1）＝14，
解得：x≈3.17，
∴DC＝5×3.17+2.5≈18.4（米），
则居民楼高约为18.4米．