2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题13 二次函数的图象与性质

这是一份2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题13 二次函数的图象与性质，共15页。试卷主要包含了 二次函数的图象与性质， 二次函数表达式的三种形式， 二次函数图象的平移， 二次函数与一元二次方程的关系，10)等内容，欢迎下载使用。
构建知识体系
考点梳理
1. 二次函数的图象与性质(6年6考)
2. 二次函数的图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
3. 二次函数表达式的三种形式(6年3考)
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2为常数，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标)
4. 二次函数图象的平移(6年2考)
(1)将y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k
(2)平移规律
5. 二次函数与一元二次方程的关系
练考点
1. 已知二次函数y＝2(x－2)2＋5.
(1)二次函数图象的对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；
(2)二次函数的图象经过点(3，y1)，(5，y2)，则y1 y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
2. 已知函数y＝x2－4x＋3.
(1)函数图象的开口向 ，与y轴的交点坐标为 ；
(2)函数的图象与x轴有 个交点，交点的坐标为 .
3. (1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点(0，1)和(1，0)，则抛物线的解析式为 ；
(2)已知二次函数的图象经过点(1，0)，(3，0)和(2，3)，则这个二次函数的解析式为 .
4. 已知抛物线y＝x2－2x－3.
(1)将此二次函数的图象先向上平移3个单位长度，得到的二次函数C1的解析式为 ，再向右平移1个单位长度，得到的二次函数C2的解析式为 ；
(2)若将抛物线经过平移后得到抛物线y＝x2，则平移的方式是 .
5. 已知抛物线y＝x2＋x－2，则一元二次方程x2＋x－2＝0与x轴有 个交点，该一元二次方程的解为 .
高频考点
考点1 二次函数的图象与性质(6年6考)
例1 已知二次函数y＝x2－2x－3，根据要求回答下列问题.
(1)该二次函数表达式化为顶点式为 ；
(2)核心设问 该二次函数有最 值(填“大”或“小”)，其最值为 ；[2021广东9题考查]
(3)核心设问 当－3≤x≤0时，y的最大值为 ，最小值为 ；[2021广东22(2)题考查]
(4)当－1≤x≤2时，y的最大值为 ，最小值为 ；
(5)若点A(5，12)为二次函数图象上的点，则点A关于对称轴对称的点的坐标为 ；
(6)核心设问 若点A(－2，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在该二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；(用“＜”连接)[2024广东8题考查]
(7)若(4，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝y1－5，则m的值为 .
变式1 (2024珠海香洲区二模)对于抛物线y＝3(x－2)2－1，下列说法正确的是( )
y随x的增大而减小
B. 当x＝2时，y有最大值－1
C. 若点A(3，y1)，B(1，y2)都在抛物线y＝3(x－2)2－1上，则y1＞y2
D. 经过第一、二、四象限
考点2 二次函数的图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
例2 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x＝1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”填空.
例2题图
(1)a 0，b 0，c 0；
(2)b2－4ac 0；
(3)2a＋b 0；
(4)a＋b＋c 0；
(5)4a－2b＋c 0；
(6)c－a 0；
(7)2c－3b 0；
(8)a＋b m(am＋b)(m≠0).
方法解读
1. 根据b2－4ac的符号观察与x轴的交点个数：
(1)与x轴有两个交点→b2－4ac＞0；
(2)与x轴有一个交点→b2－4ac＝0；
(3)与x轴没有交点→b2－4ac＜0.
2. 二次函数图象与特殊代数式之间的关系
(1)如遇见2a＋b，2a－b类的式子，可利用对称轴与±1比较求解；
(2)如遇见a＋b＋c，a－b＋c类的式子，可利用x＝±1，求出y的大小求解；
(3)如遇见a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴(如：2a＋b)与x等于某个值时y的式子(如a＋b＋c)联立求解；
(4)如遇见(a＋c)2＜b2形式的式子，先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解.
例3 已知a＋b＝0(a≠0)，ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
考点3 二次函数解析式的确定(含平移)(6年3考)
例4 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C(0，－3).
例4题图
若抛物线的对称轴为直线x＝2，求该抛物线的解析式；
若抛物线向左平移3个单位后，经过坐标原点，求该抛物线的解析式；
核心设问 若AO∶BO＝1∶2，求该抛物线的解析式；[2022广东23(1)题，2020广东25(1)题考查]
若直线y＝2x＋m经过点B，C，求该抛物线的解析式.
变式3 (2024梅州梅县一模)已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝－2x2＋9x相同，且它的顶点坐标为(－1，6)，则这条抛物线的解析式为 .
考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(6年2考)
例5 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有 个实数根.
例5题图
变式4 已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0，b≠0)经过点(－2，0)，(3，0)，则方程cx2＋bx＋a＝0的解为 .
真题及变式
命题点1 二次函数的图象与性质(6年6考)
1. (2024广东8题3分)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则( )
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2
2. (2023广东10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点 B在y轴上，则ac的值为( )
第2题图
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
2.1 变思维——将利用对称性变为利用正方形的边角关系
(2024珠海模拟)如图，在正方形ABCD中，点B，D的坐标分别是(－1，－2)，(1，2)，点C在抛物线y＝－12x2＋bx的图象上，则b的值是( )
－32 B. 32
C. －12 D. 12
变式2.1题图
命题点2 二次函数图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
3. (2020广东10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正确的有( )
第3题图
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3.1 变条件——与表格结合
(2024烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2 ；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2 的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为 .
命题点3 二次函数图象的平移(6年2考)
4. (2020广东7题3分)把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－1)2＋1
C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－1)2＋3
5. (2021广东12题4分)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .
5.1 变条件——将抛物线平移变为坐标轴平移
抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋2，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
y＝(x＋2)2＋4 B. y＝(x＋2)2
C. y＝(x－4)2＋4 D. y＝(x－4)2
考点精讲
①－b2a ②(－b2a，4ac－b24a) ③(h，k) ④向上
⑤向下 ⑥左侧 ⑦右侧 ⑧正 ⑨负 ⑩两个
⑪两个不相等 ⑫＝ ⑬无
练考点
1. (1)x＝2，(2，5)；(2)＜
2. (1)上，(0，3)；(2)两，(1，0)和(3，0)
3. (1)y＝x2－2x＋1；
(2)y＝－3(x－1)(x－3)
4. (1)y＝x2－2x，y＝x2－4x＋3；
(2)先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度(答案不唯一)
5. 两；x1＝－2，x2＝1
高频考点
例1 (1)y＝(x－1)2－4；
(2)小，－4；
(3)12，－3；
(4)0，－4；
(5)(－3，12)；
(6)y2＜y1＜y3；
(7)－1或3.
变式1 D 【解析】∵抛物线y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11，a＝3＞0，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A选项错误，不符合题意；∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y取最小值为－1，故B选项错误，不符合题意；由题意得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，｜3－2｜＝｜1－2｜，∴y1＝y2，故C选项错误，不符合题意；∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过第三象限，故D选项正确，符合题意.
例2 (1)＞，＜，＜；
(2)＞；(3)＝；(4)＜；(5)＞；
(6)＜； 【解析】由图象可知，a＞0，c＜0，c－a＜0.
(7)＜； 【解析】∵对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴a＝－b2，将x＝－1代入二次函数解析式得y＝a－b＋c＜0，－b2－b＋c＜0，2c－3b＜0.
(8)≤ 【解析】将x＝1代入二次函数解析式得y＝a＋b＋c，将x＝m代入得y＝am2＋bm＋c，当m＝1时，a＋b＋c＝am2＋bm＋c，即a＋b＝m(am＋b)；当m≠1时，∵当x＝1时y取得最小值，∴a＋b＋c＜am2＋bm＋c，即a＋b＜m(am＋b)，综上所述，a＋b≤m(am＋b).
例3 C 【解析】∵a＋b＝0，∴a＝－b，∴对称轴为直线x＝－b2a＝a2a＝12，∵ac＞0，∴a，c同号，∴选项C符合题意.
例4 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝2，
∴b＝－4a，
∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－4ax＋c，
将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－4ax＋c中，
得a+4a＋c=0c＝－3，
解得a＝35c＝－3，
∴b＝－125，
∴抛物线的解析式为y＝35x2－125x－3；
(2)由题意，抛物线经过点(3，0)，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，0)，
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，－3)代入，得－3＝－3a，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；
(3)∵点A的坐标为(－1，0)，
∴AO＝1，
∵AO∶BO＝1∶2，
∴BO＝2，
∴点B的坐标为(2，0)，
将A(－1，0)，B(2，0)，C(0，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得a－b＋c=04a+2b＋c=0c＝－3，
解得a＝32b＝－32c＝－3，
∴抛物线的解析式为y＝32x2－32x－3；
(4)将C(0，－3)代入y＝2x＋m中，
得m＝－3，
∴直线BC的解析式为y＝2x－3，
令2x－3＝0，解得x＝32，
∴点B的坐标为(32，0)，
将A(－1，0)，B(32，0)，C(0，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得a－b＋c=094a＋32b＋c=0c＝－3，
解得a=2b＝－1c＝－3，
∴该抛物线的解析式为y＝2x2－x－3.
变式3 y＝－2(x＋1)2＋6 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(－1，6)，∴抛物线解析式可设为y＝a(x＋1)2＋6，∵抛物线y＝a(x＋1)2＋6的形状、开口方向均与抛物线y＝－2x2＋9x相同，∴a＝－2，∴这条抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋6.
例5 两 【解析】∵二次函数的顶点在第二象限，且开口向下，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个实数根.
变式4 x1＝－12，x2＝13 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，(3，0)，∴对称轴为直线x＝12，即－b2a＝12，∴b＝－a，∴a＝－b.将点(－2，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a－2b＋c＝0，∴－4b－2b＋c＝0，∴c＝6b，∴6bx2＋bx－b＝0，即6x2＋x－1＝0，解得x1＝－12，x2＝13.
真题及变式
1. A 【解析】∵二次函数的解析式为y＝x2，∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵2＞1＞0，∴y3＞y2＞y1.
2. B 【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，当x＝0时，y＝c，即OB＝c，∵四边形OABC是正方形，∴AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC⊥OB，∴A(c2，c2)，∴c2＝a×c24＋c，解得ac＝－2.
第2题解图
变式2.1 D 【解析】如解图，过点C作MN⊥x轴，作BM⊥MN于点M，DN⊥MN于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC，∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠BMC＝∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN(AAS)，∴CN＝BM，DN＝CM，设C(a，b)，∵点B，D的坐标分别是(－1，－2)，(1，2)，∴a+1=2－ba－1=b+2，解得a=2b＝－1，∴C(2，－1)，∵点C在抛物线y＝－12x2＋bx的图象上，∴－1＝－12×4＋2b，∴b＝12.
变式2.1题解图
3. B 【解析】①∵抛物线开口向下且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，又∵抛物线的对称轴为x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，得b2－4ac＞0，故②正确；③由题图知，当x＝－2时，二次函数y＝4a－2b＋c＜0，又由①知b＝－2a.∴y＝4a－2b＋c＝8a＋c＜0，故③正确；④∵5a＋b＋2c＝(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)，结合图象可知：当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，∴(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)＝5a＋b＋2c＞0，故④正确.∴正确的结论有3个，故选B.
变式3.1 ①②④ 【解析】由题意，将点(－4，0)，(－3，5)，(1，5)代入二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c中，得16a－4b＋c=09a－3b＋c=5a＋b＋c=5，解得a＝－1b＝－2c=8，∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋8，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，结论①正确；当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，解得x1＝x2＝－1，有两个相等的实数根，结论②正确；由表格知，当－4＜x＜1时，0＜y＜9，结论③错误；∵二次函数y＝－x2－2x＋8的对称轴为直线x＝－1，且m＋(−m－2)2＝－1，∴点(m，y1)，(－m－2，y2)关于对称轴对称，∴y1＝y2，结论④正确；由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得x2＋x－6＞0，∴x的取值范围为x＜－3或x＞2，结论⑤错误.
4. C 【解析】y＝(x－1)2＋2向右平移1个单位后得到y＝(x－1－1)2＋2，即y＝(x－2)2＋2.
5. y＝2(x＋1)2－2
变式5.1 D 【解析】根据题意知，将抛物线y＝(x－1)2＋2向下平移2个单位长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝(x－4)2.
表达式
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a
a＞0
a＜0
图象(草图)
对称轴
(1)对称轴为直线x＝①
(2)利用x＝x1＋x22求解(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)
顶点
坐标
(1)顶点坐标为②
(2)将一般式配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为③
增减性
在对称轴左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－b2a时，y取最小值4ac－b24a
当x＝－b2a时，y取最大值4ac－b24a
a的正负
a＞0
开口④
a＜0
开口⑤
a，b的值
b＝0
对称轴为y轴
a，b同号
对称轴在y轴⑥
a，b异号
对称轴在y轴⑦
c的正负
c＝0
抛物线过原点
c＞0
抛物线与y轴交于⑧ 半轴
c＜0
抛物线与y轴交于⑨ 半轴
b2－4ac的值
b2－4ac＝0
与x轴有唯一的交点(顶点)
b2－4ac＞0
与x轴有⑩ 交点
b2－4ac＜0
与x轴没有交点
平移前的解析式
移动方向(m＞0)
平移后的解析式
简记
y＝a(x－h)2＋k
向左平移m个单位
y＝a(x－h＋m)2＋k
左“＋”
右“－”
向右平移m个单位
y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位
y＝a(x－h)2＋k＋m
上“＋”
下“－”
向下平移m个单位
y＝a(x－h)2＋k－m
与x轴
交点坐
标的确定
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解
与x轴交点个
数的判断
(1)二次函数的图象与x轴有两个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有⑪ 的实数根⇔b2－4ac＞0；
(2)二次函数的图象与x轴有且只有一个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根⇔b2－4ac⑫ 0；
(3)二次函数的图象与x轴没有交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0⑬ 实数根⇔b2－4ac＜0
x
－4
－3
－1
1
5
y
0
5
9
5
－27