安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量与共线，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 6
3. 已知数列前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线：与：，则（ ）
A. 与的实轴长相等B. 与的渐近线相同
C. 与的焦距相等D. 与的离心率相等
5. 在四棱柱中，若，则（ ）
A. 平面B. 四边形是矩形
C. 四边形是平行四边形D. 四边形是梯形
6. 若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列．令，则数列的前100项和为（ ）
A. 0B. C. D. 32
7. 已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
8. 已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，共面
B. 存在不全为零实数x，y，z，使得
C. 若，，则
D. 若，则
10. 已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或B. 存a，使得
C. 若，的交点横坐标为，则或1D. 若且，则一定经过第一象限
11. 已知数列的前n项和为，若当且仅当时，最小，则的通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知抛物线C：，直线l：与C交于，两点，O为坐标原点，P是直线上任意一点，则（ ）
A. B.
C. D. 共线
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若双曲线的焦点分别为，，且点在上，则的实轴长为_________________．
14. 在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，，均为单位向量，且，则____________．
15. 已知公比等比数列满足成等差数列，设的前项和为，则__________.
16. 如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为__________.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知等差数列满足，求的通项公式；
（2）已知等比数列的公比，且，求的前项和.
18. 已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程．
19. 已知曲线C：（且）左、右焦点分别为，，直线与交于点，．
（1）若，且四边形是矩形，求的值；
（2）若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若，求．
20. 如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面经过且与平行，求点到平面的距离．
21. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求证：；
（2）若，求数列的前n项和．
22. 已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
（1）求的方程．
（2）过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．