陕西省西安市雁塔区高新三中2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷-A4

这是一份陕西省西安市雁塔区高新三中2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列表述中，能确定准确位置的是（ ）
A．教室第三排B．湖心南路
C．南偏东40°D．东经112°，北纬51°
4．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．7，24，25C．3，3，5D．，，
6．（3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
7．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣的结果是（ ）
A．2a﹣bB．bC．﹣bD．﹣2a+b
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9．（3分）若8，a，17是一组勾股数，则a＝ ．
10．（3分）比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
11．（3分）如果与互为相反数，那么x2+y＝ ．
12．（3分）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为 ．
13．（3分）如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上，且AD＝，AE＝3，则AC＝ ．
三、解答题（本大题共12小题，共81.0分）
14．（6分）计算：
（1）；
（2）．
15．（8分）（1）计算：（2021﹣π）0+；
（2）计算：．
16．（5分）如图，直线l垂直数轴于原点在数轴上，用尺规作出表示的点E（不写作法，保留作图痕迹）．
17．（5分）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的算术平方根．
18．（5分）正数x的两个平方根分别为6﹣a和2a+3．
（1）求a的值；
（2）求9﹣x的立方根．
19．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16．
（1）AB的长为 ．
（2）把△ABC沿着直线AD翻折，使得点C落在AB边上E处，求CD的长．
20．（6分）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸开始时，绳长CB＝5米，拉动绳子将船身岸边行驶了2米到点D后，绳长CD＝米，求岸上点C离水面的高度CA．
21．（6分）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
（3）点P到x轴、y轴的距离相等．
22．（6分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
23．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内完善平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；
（2）点B坐标是 ，点C1坐标是 ．
（3）点P是y轴上一个动点，若，求点P的坐标．
24．（8分）像，，…这种两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与、与、与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请解答下列问题：
（1）化简：．
（2）计算：；
（3）比较与的大小，并说明理由．
25．（12分）回顾旧知
（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA+PB最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值．
变式研究
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD＝CE，请直接写出CD+BE的最小值．
2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新三中八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1．【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】解：因为点A（﹣3，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．故选：B．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝|x|，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、原式＝2，不是最简二次根式；
D、原式＝，不是最简二次根式，
故选：B．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
3．【分析】根据坐标的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、教室第三排，不能确定具体位置，故本选项错误；
B、湖心南路，不能确定具体位置，故本选项错误；
C、北偏东40°，不能确定具体位置，故本选项错误；
D、东经112°，北纬51°，能确定位置，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．
4．【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可．
【解答】解：∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
∵72+242＝252，
∴能组成直角三角形，
故B符合题意；
∵32+32≠52，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
∵，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．【分析】根据题意分别求出AC、BC，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，由题意可知，BC＝8米，AC＝10﹣4＝6（米），
由勾股定理得：AB＝＝10（米），
则小鸟至少要飞10米，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
7．【分析】首先能根据数轴看出：a＜0，b＞0，且a的绝对值大于b的绝对值，化简和即可．
【解答】解：根据数轴可知：
a＜0，b＞0，且＞，
∴﹣，
＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a），
＝b，
故选：B．
【点评】解此题的关键是（1）确定a b的大小及之间的关系，（2）利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简，难点是（1）确定a b的大小及之间的关系，题目很好，有一定难度．
8．【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9．【分析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
10．【分析】首先确定﹣1与1的大小，进行比较即可求解．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．
11．【分析】与互为相反数，即两个式子的和是0，根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则x2+y＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
【解答】解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2＝1．
△BCE的面积是：×1×1＝．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣＝．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝．
设AC边上的高线长是x．则AC•x＝x＝，
解得：x＝．
【点评】求△ABC的面积要用正方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决本题的关键．
13．【分析】连接BE，根据题意可以证明△AEB是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明AE2+AD2＝2AC2，即可求AC的值．
【解答】解：连接BE，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACE+∠ECB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠DCA＝∠ECB，且CE＝CD，CA＝CB
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，∠CEB＝∠CDA，
∴∠BEA＝∠CEB+∠CDA＝∠CEA+∠CDA＝90°，
∴△AEB是直角三角形，
∴AE2+BE2＝AB2，
在Rt△ACB中，AC＝BC，AC2+BC2＝2AC2＝AB2，
∴2AC2＝AE2+BE2，
即AE2+AD2＝2AC2；
∵AD＝，AE＝3，
∴AC＝
故答案为：
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是找到AE2+AD2＝2AC2．
三、解答题（本大题共12小题，共81.0分）
14．【分析】（1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝2+5+5
＝12．
【点评】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．【分析】（1）化简零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式，然后再计算；
（2）先利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加减．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣1﹣2+2
＝3﹣2；
（2）原式＝3﹣2+
＝3﹣2+2
＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
16．【分析】因为13＝4+9，所以只需作出以2和3为邻边作长方形，则其对角线的长是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴负半轴的交点即为表示的点．
【解答】解：如图所示，点E是表示．
【点评】本题考查了勾股定理、无理数用数轴上的点表示的方法；熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理进行计算与作图是解决问题的关键．
17．【分析】先根据题意估算出a与b的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：∵ ，
∴，
∴a＝3，b＝，
∴＝（﹣3﹣）0﹣1＝1﹣1＝0，
∴的算术平方根是0．
【点评】本题考查算术平方根、估算无理数的大小、零指数幂，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
18．【分析】（1）正数的平方根互为相反数；
（2）求出9﹣x的值，再求立方根．
【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根分别为6﹣a和2a+3，
∴6﹣a+2a+3＝0，
∴a＝﹣9；
（2）∵6﹣a＝15，2a+3＝﹣15，
∴x＝（±15）2＝225，
∴＝
∴求9﹣x的立方根为﹣6．
【点评】本题考查了学生对正数的平方根和立方根的理解，正数的有两个平方根，且互为相反数，这时解本题的突破口，学生要充分把握．
19．【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长；
（2）首先根据折叠的性质可得∠C＝∠AED＝90°，AC＝AE＝12，CD＝ED，则BE＝8，设CD＝DE＝x，则DB＝16﹣x，根据勾股定理得出DE2+EB2＝DB2，即（16﹣x）2＝82+x2，求出x＝6．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵AC＝12，BC＝16，
∴AB＝＝20；
故答案为：20．
（2）根据折叠可得：∠C＝∠AED＝90°，AC＝AE＝12，CD＝ED，则BE＝8，
设CD＝DE＝x，则DB＝16x，
∵DE2+EB2＝DB2，
∴（16﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝6．
即CD＝6．
【点评】该题主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理，牢固掌握翻折变换的性质是解题的关键．
20．【分析】首先在两个直角三角形中利用勾股定理求得AD的长，然后再利用勾股定理求得AC的长即可．
【解答】解：设AD＝x，根据题意得13﹣x2＝25﹣（x+2）2
解得：x＝2，
∵BD＝2，
∴AB＝4，
∴由勾股定理得：，
答：岸离水面高度AC为3米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
21．【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
（3）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8）在x轴上，
∴2a+8＝0，
解得：a＝﹣4，
故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
故2a+8＝14，
则P（1，14）；
（3）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0，
解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2，
故当a＝﹣10时，a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4，2a+8＝4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12）或（﹣4，4）．
【点评】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．
22．【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12（cm），BN＝10+6＝16（cm），
∴MN＝＝20（cm）；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18（cm），NP＝10（cm），
∴MN＝＝2（cm）．
∴它需要爬行的最短路程是20cm．
【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
23．【分析】（1）根据A（﹣4，5），C（﹣1，3），确定原点位置，然后作出坐标系，再根据A（﹣4，5），A1（4，5），得出△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出轴对称图形即可；
（2）根据点B的位置写出点B的坐标即可，根据图形可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，即可得到点C1坐标；
（3）设点P的坐标为（0，y），根据，得出，求出或，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：建立直角坐标系如下，
根据A（﹣4，5），A1（4，5），得出△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，
∴△A1B1C1即为所求作的三角形；
（2）由图可知，B（﹣2，1），C1（1，3）；
故答案为：（﹣2，1），（1，3）；
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵BB1＝2﹣（﹣2）＝4，，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质，根据已知点的坐标，确定原点的位置是解题的关键．
24．【分析】（1）根据有理化因式，化去分母中的根号即可；
（2）根据有理化因式和平方差公式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可；
（3）根据有理化分子和平方差公式，化去分母中的根号，再进行比较即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝；
（3）设，，
则a＞0，b＞0，
∴，，
∴，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b，
∴．
【点评】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
25．【分析】（1）由轴对称的性质，易知△AP'C≌△A′P'C，从而有P'A＝P'A'．这样，在△A'P'B中，根据“两点之间，线段最短”可知A'B与l的交点P即为所求．
（2）过点E作ED∥CF，使ED＝CF，连接DF，CD，设CD交AB于O，可得四边形CEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得OC＝OD，OE＝OF，由AE＝BF得AO＝BO＝AB＝4，根据直角三角形斜边上的中线得OC＝OD＝4，即可得CE+CF＝CE+ED≥CD，则CE+CF的最小值为CD，即可求解；
（3）过点C作CK∥AB，使CK＝AC＝5，过点B作BG⊥KC，交KC的延长线于点G，连接BK，则∠KCE＝∠CAD，证△CKE≌△ACD（SAS），得EK＝CD，则CD+BE的最小值为BK，再由含30°角的直角三角形的性质等CG＝BC＝2，则BG＝2，KG＝CK+CG＝7，然后由勾股定理求出BK的长即可．
【解答】解：（1）在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，
∴AC＝A′C，∠ACP′＝∠A′CP′，
∵CP′＝∠CP′，
∴△AP'C≌△A′P'C（SAS），
∴P'A＝P'A'．
在△A'P'B中，根据“两点之间，线段最短”可知A'B与l的交点P即为所求．
故答案为：△A′P'C，两点之间，线段最短；
（2）解法一：取AB中点D，连接CD并延长到G，使DG＝CD，连接EG，
∴AD＝BD，
∵AE＝BF，
∴DE＝DF，
∵∠EDG＝∠FDC，DG＝DC，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴GE＝CF，
CE+CF＝CE+EG，
当点E运动到D时，CE+CF的最小值为CE+EG＝CG，
∵∠ACB＝90°，AB＝8，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝4，
∴CG＝2CD＝8，即CE+CF的最小值为8；，
解法二：过点E作ED∥CF，使ED＝CF，连接DF，CD，设CD交AB于O，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴OC＝OD，OE＝OF，
∵AE＝BF，
∴AO＝BO＝AB＝4，
∵∠ACB＝90°，AB＝8，
∴OC＝OD＝AB＝4，
∴CD＝8，
∵CE+CF＝CE+ED≥CD，
∴CE+CF的最小值为CD，即CE+CF的最小值为8；
（3）如图，过点C作CK∥AB，使CK＝AC＝5，过点B作BG⊥KC，交KC的延长线于点G，连接BK，
则∠KCE＝∠CAD，
在△CKE和△ACD中，
，
∴△CKE≌△ACD（SAS），
∴EK＝CD，
∴CD+BE＝EK+BE≥BK，
∴CD+BE的最小值为BK，
∵CK∥AB，BG⊥CK，
∴BG⊥AB，∠BGK＝90°，
∴∠ABG＝90°，
∴∠CBG＝∠ABG﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝BC＝×4＝2，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG＝＝＝2，
KG＝CK+CG＝5+2＝7，
在Rt△BGK中，由勾股定理得：BK＝＝＝，
∴CD+BE的最小值为．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，含30°角直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形和直角三角形是解题的关键．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中!据此，在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，易知△AP'C≌ ，从而有P'A＝P'A'．这样，在△A'P'B中，根据“
”可知A'B与l的交点P即为所求．
题号
1
2
3
4
6
7
8
答案
B
B
D
B
C
B
A