西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试卷答案

这是一份西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试卷答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．，向量对应的复数为，故选D．
2．对A，由得，反之，当时，不能推出，故是成立的充分不必要条件；对B，当时，不成立，故不是成立的充分条件，反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件；对C，是的既不充分也不必要条件；对D，是的充要条件，故选D．
3．第3项的二项式系数为，故选C．
4．由题意数列满足，由，得
，由此可知数列的周期为4，故，故选C．
5．由两直线垂直得 ，解得 ，故选B．
图1
6．设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图1所示：又因为质点运动最短距离为，故，又因为，所以，所以．设圆锥底面半径为，高为，则，解得，所以，所以圆锥的体积，故选A．
7．，因为有两个极值点为，所以在上有两个不同的零点. 此时方程在上有两个不同的实根.则，且，解得若不等式恒成立，则恒成立.因为
，则
，设，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为，故选A．
8．由题可得，
故选B．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．对A，若可以作为基底，则不共线，当共线时，故可以作为基底时，，故A正确；对B，
，故B错误；对C，若，则，故C正确；对D，，，故D正确，故选ACD．
10．由幂函数知，，解得，故A正确；的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确；由知函数在上单调递增，所以由可得，解得，故D错误，故选AC．
11．由题意，当时，，解得，当时，，解得，故A正确；当时，，解得，，所以B错误；假设数列为等比数列，则，，矛盾，故C错误；因为，所以，所以，所以数列是递增数列，所以，假设对任意的，，则，取，则，矛盾，所以中存在大于100的数，故D正确，故选AD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．当时，双曲线E的渐近线方程为，双曲线E的离心率为．
13．，令或
14．若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；若第一次取球均取到红球，其概率为，第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球，第二次取到同色球概率为；此时乙袋中恰有4个小球的概率是；若第一次取球均取到白球，其概率为，第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球，第二次取到同色球概率为；此时乙袋中恰有4个小球的概率是；所以乙袋中恰有4个小球的概率是，故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由题意得，解得，…………………………………（3分）
抛物线方程为．…………………………………（5分）
（2）直线l的方程为， …………………………………（6分）
联立，得， …………………………………（8分）
若满足要求，…………………………………（10分）
若，则需满足，解得，
综上：． …………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）由题可得
…………………………………（4分）
当时，，
．……………………………（7分）
（2）
，折线段赛道MNP的长度为千米.
……………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：如图2，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，……………………（2分）
图2
又因为平面平面，平面
平面，
所以平面， …………………………………（4分）
又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面．
…………………………………（6分）
（2）解：连接，因为为等边三角形，则，所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图3所示：
图3
令三棱柱的棱长为2，所以，故
又，所以，…………………………………（8分）
设，，
则，
即；
又，
设平面的法向量为，
则则取，则；
故平面的法向量可为；
…………………………………（11分）
又设直线与平面所成角为，
由题可得，即，
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
……………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1），…………………………………（2分）
，， …………………………………（4分）
在处的切线方程为． …………………………………（5分）
（2）因为，
令，，…………………………（7分）
因为在上单调递增，，，
所以，使得， …………………………………（9分）
当，，单调递减，
当，，单调递增， …………………………………（11分）
，，
所以，使得， …………………………………（13分）
当，，单调递减，
当，，单调递增， …………………………………（15分）
，，所以，故．
……………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则， ………………………（2分）
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786．
…………………………（5分）
（2）①因为，， ………………………（6分）
所以，，
，，
，
， ………………………（9分）
；
…………………………………（11分）
②因为…
则出现上述情况的概率为
………………………（13分）
令，取对数得，
令，则，
令，得，………………………（14分）
当时，单调递增，
时，单调递减，所以.
因为，所以
，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%．
…………………………………（17分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
C
B
A
A
B
题号
9
10
11
答案
ACD
AC
AD
题号
12
13
14
答案