2024—2025 学年上学期东北师大附中高三年级第三次摸底考试数学试卷及参考答案

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多选题
三、填空题
12． 13. 14．
四、解答题
15. 【解析】（1），，，
数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
，．
（2），
，
错位相减得，
．
16. 【解析】（1）证明：取中点，
A
B
C
D
E
P
M
N
连接，，，
为的中点，
则，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，
平面，
平面．
（2）,
,.
A
B
C
D
E
P
M
N
x
y
z
又，且，
平面，
,
又，.
解法一(向量法)：
以点D为坐标原点,以DE,DC,DP分别为x轴、y轴, z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
设平面PBC的法向量,则,即,
令,得.
设平面PEC的法向量,则,即,
令,得.
设平面与平面夹角为, 则=,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
解法二（几何法）：
,,
，，
又，且，
平面．
且,，
.
根据二面角的定义可知,即为二面角的平面角,
,.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 【解析】（1），
由余弦定理知：，
,.
（2）,
,
,
.
又,
, 即.
,
又为锐角三角形，
,解得，
,
.
18. 【解析】（1）(i) ，
设，当时，，
在单调递增，，
即；
（ii），
设，
，，
在单调递增，，
在单调递增，，即．
（2）由（1）可知， ，变形得，
令，得，
取得，
，，
相加得．
19.【解析】（1）因为，
，，均为正整数
所以数列存在“伴随数列”，且其“伴随数列”为.
（2）因为数列存在“伴随数列”，
所以，且
∴，
∴，即，
∴．
（3）①一方面，由（2）知，于是
所以
②另一方面，由数列存在“伴随数列，知
所以是的正约数，又，
即可取，
又，为最大值，
取，有
，
，
符合条件，因此的最大值为．
【或取，，
，
，，
给出一种符合条件的即可．】
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
A
D
D
D
C
9
10
11
AC
ACD
AC