湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，
故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.
故选：C.
2. 已知数列，则“”是“为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】对数列，设，显然满足，
但不是等差数列，故充分性不满足；
若为等差数列，设其公差为，则，
故必要性成立；
综上所述，“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含
【答案】D
【解析】的圆心为，半径为，
变形为，圆心为，半径为，故圆心距，
故圆与圆的位置关系为内含.故选：D
4. 如图，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F分别是，的中点，求直线与直线夹角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，因为E，F分别是，的中点，故且，故四边形为平行四边形，故.又O是底面的中心，故为中点，直线与直线夹角为.设，则，，，.故.

故选：A
5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】由题意得，，抛物线中，
所以yM=2，所以所求距离为.
故选：B
6. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A. 161B. 171C. 181D. 191
【答案】B
【解析】由题意可知既是2的倍数，也是5倍数，
即是10的倍数，则，
故.
故选：B.
7. 两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.故选：A
8. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若直线与双曲线的另一条渐近线交于点,且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知双曲线的渐近线方程为，
双曲线右焦点到渐近线的距离为，
在中，，，所以，
设，则，，
因为，所以，
所以，所以，
在中，，
所以，即，即，
所以．
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等差数列B.
C. 的最大值为10D.
【答案】ABC
【解析】因为，当时，,
当时，，
所以，
所以，检验符合上式，
所以，所以，，
所以是首项为，公差的等差数列，所以A正确；
因为，所以数列是递减数列，所以，B正确；
因为，所以时有最大值，
，所以的最大值为10，所以C正确；
，，，所以D错误.
故选：ABC
10. 已知抛物线的焦点的坐标为2,0，则（ ）
A. 准线的方程为
B. 焦点到准线的距离为4
C. 过点A-2,0只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点
D. 抛物线与圆交于两点，则
【答案】BD
【解析】因为抛物线的焦点的坐标为2,0，所以抛物线焦点在轴上，
，准线的方程为，A错误；焦点到准线的距离为，B正确；

如上图，过点A-2,0的直线中有两条直线与抛物线相切，
还有与抛物线相交于一点，所以过点A-2,0有条直线与拋物线有且
只有一个公共点，C错误；
，得，解得（舍），，
两交点为，故，D正确.
故选：BD
11. 伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程可以为
B. 若，则
C. 有且仅有一个点，使得
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】对于：由，解得，
则椭圆的标准方程为，故A正确；
对于B：由定义可知，
由余弦定理可得，
，
解得，
则，故B错误；
对于C：当点为短轴的一个端点时，最大，
此时为钝角，
则椭圆上存在四个不同的点，使得，故C错误；
对于D
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故选：AD．
12. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对A：当在平面上运动时，
三棱锥的底面为三角形，其面积为定值，
又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值，
故三棱锥的体积不变，A正确；
对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示：

因为面，
故面，
又面，故；
当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角；
当点与点重合时，因为，故可得所成角为；
当点异于点时，设所成的角为，则，
故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小，
此时，三角形为等边三角形，故可得；
综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误；
对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为；
当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角；

又，又，
故，，
故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意；
同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面的夹角也小于，不满足题意；
当点在平面上时，因为，
易知点的轨迹为，
；
当点在平面上时，因为，
易知点的轨迹为，
；
当点在平面上时，
因为面//面，
故与面所成角与与面所成角相等，
因为面，
连接，
故；

在三角形中，易知，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
故其轨迹长度为：；
当点在面上，不满足题意；
综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确；
对D：取的中点分别为，
连接，如下所示：

因为//面面，故//面；
//面面，故//面；
又面，故平面//面；
又//////，故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段；
在三角形中，
；；；
则，故三角形是以为直角的直角三角形；
故，
故长度的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若与共线，则__________.
【答案】
【解析】因为向量，且与共线，
所以，
解得：，所以.
故答案为：
14. 在数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】依题意，，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以.
故答案为：
15. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程，
当过焦点的直线与两条渐近线平行时，
直线与双曲线右支分别只有一个交点
(因为双曲线正在与渐近线无限接近中)，
由图可知，斜率不在的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线），
斜率在的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线）．
所以此直线的斜率的取值范围故答案为
16. 如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为__________；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为__________.
【答案】；
【解析】当AB垂直于轴时，，此时，可得，
故的方程为：；
对抛物线上的任意两点，
若直线AB斜率存，则，
故直线AB方程为：，即
也即，又，
故AB方程为：；
若直线AB斜率不存在，，，
显然此时，直线AB方程亦可表示为：；
综上所述，AB方程可表示为：；
又直线AB过点，则；
设两点坐标为，
同理可得直线CD方程为：，
直线AD方程为：，
又直线AD过点，则；
又直线CD过点，则；
综上可得：，
若直线斜率存在，设斜率为，
则，
显然，
当时，不满足题意；
当时，由，，
则，
当且仅当，也即时取得等号；
当时，易知，故此时，
；
当时，，
则.
综上所述：的最大值为.
故答案为：；.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知是等差数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值.
解：（1）设数列an的公差为，因为，所以，解得.
所以．
（2）由（1）可知：，所以.
令，得，解得：舍去），
因为，所以的最小值是12.
18. 已知圆.
（1）过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
解：（1）由题意即图知，切线斜率存在，
在圆中，圆心，半径；
点在圆上，设切线斜率为
所以，
解得，
故切线方程为.
（2）由题意，
当直线斜率不存在时，直线与圆交于,弦长恰好为2，
直线满足条件，
当直线斜率存在时，设，即，
则圆心到直线距离，
所以在中，由勾股定理得，，解得：，
所以直线方程为：，
综上，直线的方程为或.
19. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列满足.求数列的通项公式.
解：（1）根据题意，数列满足，
等式两边除以，可得，即，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）结合（1）问可得，所以.
由数列满足可得，
可得，
当时，可得
又因为，适合上式，
所以数列的通项公式.
20. 已知椭圆的右焦点F1,0与短轴端点间的距离为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
解：（1）由已知得，又因为右焦点F1,0与短轴端点间的距离为
得，则的方程为.
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为，，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，且.
因为
即，解得或（舍去）
则，所以直线的方程为或.
21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面为线段的中点，过三点的平面与线段交于点，且.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为,则在线段上是否存在点,使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意得,,
又平面平面，
平面.
又平面，平面平面，
．
又，.
（2）取的中点为，连接，，，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
，则，
又.
取的中点为，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
假设存在点，设，
，则，
，
设平面的法向量为，
即，
可取，
又平面的一个法向量，
因为二面角的正弦值为，
，解得或（舍）.
存在点，使得二面角的正弦值为，此时.
22. 已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.
解：（1）焦点，则直线为，
联立，消去消可得，
恒成立，
设，则，
，解得
所以抛物线的方程为.
（2）设直线为，
联立方程，消可得，
显然：
设，则，
不妨设点，
以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，
则，又轴，所以平行轴，则.
设，所以，即
所以，即，
所以直线为：，
令，解得，
所以直线恒过此定点.