云南省昆明市第八中学2024-2025学年度上学期期中教学质量监测九年级数学试题卷

这是一份云南省昆明市第八中学2024-2025学年度上学期期中教学质量监测九年级数学试题卷，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件，是随机事件的是（ ）
A．一个三角形的内角和为B．掷一枚股子，向上一面点数大于0
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．3人分成两组一定有2人分在一组
5．估计的值在（ ）
A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
6．如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（）

A．12B．16C．18D．20
7．下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ）
A．24B．30C．35D．48
8．如图，中，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，为上一点，连接于点，连接，设，若，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
10．有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第5项为； ②；
③若，则； ④当时，第项的值为．
以上结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
13．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势，某地92号汽油价格六月底是7.5元/升，八月底是8.4元/升，设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程 ．
14．万州烤鱼，如今已是重庆市非物质文化遗产项目．它结合现代人的饮食习惯和现代烹饪技术，采用先腌后烤再炖煮的独特技法，调制出“麻辣”、“泡椒”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”等几十个不同口味，以麻、辣、鲜、香的味道传遍大江南北．某游客慕名而来，决定从“麻辣”、“泡椒”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”这5个口味的烤鱼中随机选取2种进行品尝，则他同时抽到“泡椒”和“蒜泥”的概率 ．
15．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为 ．

16．若整数使得关于的不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ．
17．如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则BD的长为 ．
18．对于一个四位自然数，若满足，则称这个四位数为“等和数”，记．例如：是“等和数”，；则 ；已知均为“等和数”，其中（其中、都是整数），如果能被5整除，则 ．
三、解答题
19．计算
(1)
(2)化简二次根式：，（其中
20．如图，在矩形中，是对角线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证：（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：垂直平分
又四边形是矩形
①______
在和中
∴③_______
④______

21．文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．万州区正全力争创全国文明城区、国家卫生城区．某校开展“双创”的知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：．下面给出了部分信息：八年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；九年级10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：81，82，84，88，88．抽取的九年级学生竞赛成绩扇形统计图：
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______．
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级有1050名学生，九年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
22．每年的秋冬季，万州就呈现出高峡平湖、水天一色的壮美画面．某个周末，小明和小华相约去南滨公园A游玩，小华家在小明家正北方向，南滨公园A在小明家的北偏西方向上、在小华家的北偏西方向上，已知小明家与小华家距离为1800米．
(1)求南滨公园A与小明家距离为多少米？（结果保留根号）
(2)在小明家的正西方向有一个路口恰好位于的中点的正南方向，出发当天路段因施工无法通行，所以小明到南滨公园A只能走路线．若他早上8：30从家出发，以120米/分钟的速度慢跑到南滨公园，请问他能在9：00前到达南滨公园A吗？（参考数据：）
23．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为（x>0），的面积为，请解答下列问题：
(1)请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出它的一条性质；
(3)已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围．
24．万州重百商场有A、B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用元购买A款电器的数量比用元购买B款电器的数量少1台．
(1)求每台B款电器的售价为多少元？
(2)经统计，商场每月卖出A款电器台，每台A款电器的利润为元．为了尽快减少库存，重百商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每台A款电器的售价每降低元，那么平均每月可多售出台，重百商场要想每月销售A款电器的利润达到元，每台A款电器应降价多少元？
25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，点是的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，若点是直线上的一动点，当时，求点的坐标；
(3)将直线向右平移3个单位长度得到直线，若点为平移后直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点，为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在中，，点为线段上一点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)如图1，若，求线段的长度．
(2)如图2，若，点为线段延长线上一点，连接交线段于点，且，求证：．
(3)如图3，若，点为线段的中点，连接，当最大时，直接写出的面积．
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
86
85
56
九年级
86
88
62.4
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中，最高次项是三次，不是一元二次方程，故不符合要求；
B中，是一元二次方程，故符合要求；
C中，不是整式，不是一元二次方程，故不符合要求；
D中，未知数有2个，不是一元二次方程，故不符合要求；
故选：B．
2．B
【分析】主要考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件得到，解之即得．
【详解】解：根据题意得，，
解得:．
故选：．
3．D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、一个三角形的内角和为，是不可能事件，不符合题意；
B、掷一枚骰子，向上一面点数大于0，是必然事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
D、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了二次根式混合运算，无理数的估算；由二次根式混合运算法则运算得，再用逐步逼近法可得即可求解；掌握二次根式运算法则和逐步逼近法是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
，
，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∵位似比为，
∴，
∵的面积为8，
∴的面积18，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查图形变化的规律，解题的关键是依次求出图形中小正方形的个数，并发现其规律．
根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图形中小正方形的个数为：；
第2个图形中小正方形的个数为：；
第3个图形中小正方形的个数为：；
…，
依次类推，第n个图形中小正方形的个数为个．
第6个图形中小正方形的个数是，
故选：D．
8．D
【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．A
【分析】本题考查正方形性质及全等三角形判定与性质等知识点，过点C作于G，由四边形是正方形，利用证得，得出，结合，推出，即是等腰直角三角形，，再运用三角形外角性质即可得出答案，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】过点C作于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
10．D
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意表示出第n个整式及是解题的关键．
依次求出各整式及…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
整式中的第2项为：，
，
整式中的第3项为：，
……
，
整式中的第n项为：（n为正整数），
所以整式中的第5项为：，
故①正确．
当时，
，
故②正确．
当时，
，
则，
故③正确．
当时，
令整式中的第k项的值为M，
则，
，
两式相减得：
，
，
故④正确；
故选：D．
11．
【分析】先算乘法，后算减法，即可解答．
【详解】解：

故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．
【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴
∴，
故答案为：．
13．
【分析】由题意知，七月底的汽油价格为，八月底的汽油价格为，然后根据题意列方程即可．
【详解】解：由题意知，七月底的汽油价格为，八月底的汽油价格为，
依题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确的列方程．
14．
【分析】本题考查列表法与树状图法求事件发生的概率，利用列表法列出所有等可能的结果，找出他同时抽到“泡椒”和“蒜泥”的结果数，再利用概率公式即可计算出概率．
【详解】将“麻辣”、“泡椒”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉” 这5个口味分别记为、、、、，
列表如下：
共有20种等可能的结果，其中他同时抽到“泡椒”和“蒜泥”的结果有和，共2种，
所以他同时抽到“泡椒”和“蒜泥”的概率为．
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，能熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解决问题的关键，根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，得到，根据等腰三角形的判定得出 ，即可求出．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．14
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握不等式组解法及一元二次方程根的判别式确定的取值范围．根据不等式组有解求出的取值范围，再根据关于的一元二次方程有实数根，得且，求解即可得的取值范围，取满足条件的整数相加即可．
【详解】解：，
解不等式得，解不等式得，
原不等式组有解，
，解得，
关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
且，
满足条件的整数为0，2，3，4，5，
满足条件的整数的和为，
故答案为：14．
17．
【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得，据此即可求解，熟练掌握全等三角形的判定定理和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，延长和相交于点，
由翻折可知，，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
18． 10 5645
【分析】本题考查整式的加减，理解“等和数”的定义是解题的关键．理解题中“等和数”的定义，即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为，
所以2053是“等和数”，
则．
因为，均为“等和数”，且，，
所以，，
则．
因为的末尾数字是5，
所以能被5整除．
又因为能被5整除，
所以能被5整除，
即能被5整除．
又因为，且为整数，
所以．
所以．
又因为，
所以，．
故．
故答案为：10，5645
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，完全平方公式、单项式乘多项式的法则等知识点，
（1）先根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则分别计算出各数，再合并同类项即可；
（2）把被开方数化为完全平方公式的形式，再把二次根式化简即可；
熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）
；
（2）
∵，
∴原式
20．(1)详见解析
(2)；；；
【分析】（1）分别以为圆心，大于的线段长为半径画弧，交于两点，连接两点可得线段的垂直平分线，，分别交于点；
（2）按照步骤作答即可．
【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求；

（2）证明：垂直平分，
，
又四边形是矩形，
，
，
在和中
，
，
∴，
，
，
；
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了作垂线，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握作垂线，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)86，84，30
(2)九年级学生的成绩更好，因为九年级学生成绩的中位数86大于八年级学生成绩的中位数85，所以九年级学生成绩更好
(3)这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为645人
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，根据等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）九年级共10人，A等级占20%则为2人，中位数位于是第五个和第六个的平均数，故；
八年级中出现次数最多的数是84，故；
，故；
故答案为：86；84；30；
（2）九年级学生的成绩更好，因为九年级学生成绩的中位数86大于八年级学生成绩的中位数85，所以九年级学生成绩更好
（3）（人）
故答案为：人
【点睛】本题考查中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
22．(1)南滨公园A与小明家B距离（）m
(2)他能在9：00前到达南滨公园A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点C作于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出；
（2）根据线段中点的定义求出，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再求出小明需要走的路程、小明慢跑的路程，判断即可．
【详解】（1）过点作交于点，如图所示：
在中，，，
，，
又，
在中，，
，
答：南滨公园A与小明家B距离（）m；
（2）点是的中点，
，
在Rt中，
，
，
小明走的总路程为
小明走全程用时为分钟．
9：00－8：30＝30分钟，
，
他能在9：00前到达南滨公园A
答：他能在9：00前到达南滨公园A．
23．(1)
(2)画图见解析；性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，一次函数与不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（）分点在AB上运动和点在上运动两种情况，画出图形利用三角形的面积解答即可求解；
（）根据（）所得解析式画出图象即可；
（）联立函数解析式，求出与的图象交点，画出函数图象，结合图象解答即可求解；
【详解】（1）解：当点在AB上运动时，如图，过点作，垂足为，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点在点时，不构成，
∴当时，；
当点在上运动时，如图，过点作，垂足为，则，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵底边上的高与底边上的高相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点在点时，不构成，
∴当时，；
综上，与的函数关系式为；
（2）解：∵
∴时，连接，，原点为空心；
时，连接，，端点为空心，
∴与的函数图象如图所示：
性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（3）解：当时，联立函数式得，
解得；
当时，联立函数式得，
解得；
∴与的函数图象及与的函数图象如下：
由图象可得，当时，．
24．(1)每台B款电器的售价为元
(2)每台A款电器应降价元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．
（1）设每台B款电器的售价为元，根据等量关系“用元购买A款电器的数量比用元购买B款电器的数量少1台”，列方程解答即可；
（2）设每台A款电器应降价为元，根据“每台A款电器的售价每降低元，那么平均每月可多售出台”，可知A款电器的销售量为台，由此列出方程解答即可．
【详解】（1）设每台B款电器的售价为元，则每台A款电器售价是元，
由题意得，
解得，
经检验：是分式方程的解且符合题意，
答：每台B款电器的售价为元；
（2）设每台A款电器应降价为元，
由题意得，
整理得，
解得 ，，
∵为了尽快减少库存，
，
答：每台A款电器应降价元．
25．(1)
(2)或
(3)点F的坐标为
【分析】（1）先求出直线与两坐标轴的交点，则可求得点C的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设点，则可得，求出，由可求得a的值，从而求得点M的坐标；
（3）先求出直线的解析式为，设点E的坐标为，点F的坐标为；分两种情况：为菱形的邻边；为菱形的对角线；利用菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：对于一次函数，令，得；令，得，
∴直线与轴、轴交点坐标分别为，
又点是中点，
，
设直线，把代入，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：∵点在直线上，
设点，
∵，
，
又，
，解得：或－6，
或
（3）解：存在；
∵直线向右平移个单位得到线段，
∴直线上点A向右平移3个单位后的点坐标为，且在直线上，
设直线的解析式为，把点代入得：，
∴，
∴直线的解析式为；
∵点E在直线上，
∴设点E的坐标为，又设点F的坐标为；
∵，
∴，
又；
①以为菱形的邻边；
∵菱形的对角线相互平分，
∴，即，
∵菱形的四边相等，
∴，即，
∴，
解得：，
当时，，则点F坐标为；
当时，，则点F坐标为；
②以为菱形的对角线；
∵，
∴的中点坐标为，
∴对角线的中点坐标也为，
∴，
即，
即；
∵，
由菱形的性质知，，即，
∴，
解得：，
∴；
综上，点F的坐标为．
【点睛】本题是一次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，菱形的性质，勾股定理，割补法求图形面积等知识，运用了分类讨论思想，有一定的难度．
26．(1)
(2)详见解析
(3)6
【分析】（1）由含的直角三角形可得，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可；
（2）如图1，过点作于点，证明，则，由，，可得，即，证明，则，进而可求，进而结论得证；
（3）在中，由点为中点，可得，则，可知当点在同一直线上时，最大，如图2，证明，求得，，则，，由勾股定理求，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
解得，，
由勾股定理得，，
∴线段的长为；
（2）证明：如图1，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：在中，∵点为中点，
∴，
∴，
∴当点在同一直线上时，最大，如图2，
∵，，
∴，
∴，即，解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴当最大时，的面积为6．
【点睛】本题考查了含的直角三角形，正切，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握含的直角三角形，正切，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
B
C
D
D
A
D